Данное происшествие произошло в дворах, меня к счастью успели оттолкнуть, но моя собака оказалась под колесами каковы шансы выиграть в суде на выплату моральной компенсации и стоимость собаки?

Вы можете требовать возмещения вреда, но для этого нужно, чтобы данные виновника были установлены. Шансы высокие на взыскание, так как кроме всего прочего здесь речь идет о причинения вреда средством повышенной опасности.

Водителю еще и грозит лишение прав.

КоАП РФ Статья 12.27. Невыполнение обязанностей в связи с дорожно-транспортным происшествием

1. Невыполнение водителем обязанностей, предусмотренных Правилами дорожного движения, в связи с дорожно-транспортным происшествием, участником которого он является, за исключением случаев, предусмотренных частью 2 настоящей статьи, -

ГК РФ Статья 1079. Ответственность за вред, причиненный деятельностью, создающей повышенную опасность для окружающих

обязаны возместить вред, причиненный источником повышенной опасности, если не докажут, что вред возник вследствие непреодолимой силы или умысла потерпевшего. Владелец источника повышенной опасности может быть освобожден судом от ответственности полностью или частично также по основаниям, предусмотренным пунктами 2 и 3 статьи 1083 настоящего Кодекса.

ГК РФ Статья 15. Возмещение убытков

1. Лицо, право которого нарушено, может требовать полного возмещения причиненных ему убытков, если законом или договором не предусмотрено возмещение убытков в меньшем размере.

Естественно должен быть компенсирован и моральный вред.

Так как вам 16 лет, самостоятельно представлять свои интересы в суде вы не можете без законного представителя. Поэтому обращение в полицию и в дальнейшем в судебные органы должны делать родители.

СК РФ Статья 64. Права и обязанности родителей по защите прав и интересов детей

Родители являются законными представителями своих детей и выступают в защиту их прав и интересов в отношениях с любыми физическими и юридическими лицами, в том числе в судах, без специальных полномочий

Вам для начала есть смысл обратиться в ГАИ с заявлением о привлечении этого лица к ответственности за оставление места ДТП.

После чего Вам будет проще взыскать с него убытки и компенсацию морального вреда.

Вот пример по привлечению за ДТП с собакой

Как усматривается из материалов дела, 08 февраля 2022 года в 11 часов 
06 минут Меньщиков A.M., управляя автомобилем «Тойота — Королла», 
государственный регистрационный знак 
 около д. 1 в 5-м 
микрорайоне г. Кургана, совершил наезд на собаку, принадлежащую 
Федотовой ЮГ., после чего, в нарушение пункта 2.5 Правил дорожного 
движения Российской Федерации, оставил место дорожно-транспортного 
происшествия, участником которого он являлся. 
Указанные обстоятельства послужили основанием для составления в 
отношении Меньщикова
A.M.протокола об
 административном 
правонарушении, предусмотренном частью 2 статьи 12.27 Кодекса Российской 
Федерации об административных правонарушениях. 

(Определение ВС РФ № 82-АД23-1-К7  от 2023 года)

каковы шансы выиграть в суде на выплату моральной компенсации и стоимость собаки?

 При доказанности того, что именно это лицо совершило ДТП — хорошие

ГПК РФ Статья 55. Доказательства
 

 
1. Доказательствами по делу являются полученные в предусмотренном законом порядке сведения о фактах, на основе которых суд устанавливает наличие или отсутствие обстоятельств, обосновывающих требования и возражения сторон, а также иных обстоятельств, имеющих значение для правильного рассмотрения и разрешения дела.

 
Эти сведения могут быть получены из объяснений сторон и третьих лиц, показаний свидетелей, письменных и вещественных доказательств, аудио- и видеозаписей, заключений экспертов.

если будут доказательства, что наезд совершил конкретный автомобиль, то да.

Родители могут подать иск и суд. Вы несовершеннолетняя.

Считаю необходимым вызвать сотрудников полиции.

Если на месте или вбили есть камеры наблюдения, они могли заснять инцидент или  сам автомобиль.  Сотрудники могут изъять записи. Потом они могут быть использованы в суде как доказательства.

Не советую сразу обращаться в суд или заявлять о своем намерении виновнику.

Если данное лицо установят, попробуйте завести с ним переписку по этому поводу или записать на диктофон разговор.

Если он признается в наезде, это может быть доказательством.