Возможно ли это сделать без оформления отношения и согласия командира?

Добрый вечер.

Подскажите, обязательно ли мобилизованному подписывать свой первый контракт с частью в которой прожит службу в данный момент?

 Да.

У него нет права выбора места службы и подписания контракта.

Контракт он подписывает по месту прохождения военной службы, поскольку от имени Министерства обороны РФ контракт с ним подписывается командиром части.

В силу ст. 8 Положения о порядке прохождения военной службы

8. Первый контракт подписывают следующие должностные лица Министерства обороны Российской Федерации (федерального органа исполнительной власти или федерального государственного органа, в котором предусмотрена военная служба):
г) при заключении контракта с назначаемым на воинскую должность, для которой штатом предусмотрено воинское звание солдата, матроса, сержанта или старшины, -командир воинской части;

Подписать контракт в иной части можно лишь при условии предварительного перевода к новому месту службы.

Переводы военнослужащих к новому месту военной службы из одной воинской части в другую в пределах Вооруженных Сил осуществляются в соответствии со статьей 15 Положения о порядке прохождения военной службы.

Осуществить такой перевод допустимо с учетом решения командира воинской части по месту прохождения им военной службы.

Добрый день. Да, потому что для подписания в другой части, необходимо сначала первестись в нее.

В силу ст. 8 Положения о порядке прохождения военной службы (Указ Президента РФ № 1237 от 1999 года),

Первый контракт подписывают следующие должностные лица

…
 при заключении контракта с назначаемым на воинскую должность, для которой штатом предусмотрено воинское звание от прапорщика (мичмана) до полковника, капитана 1 ранга включительно, за исключением лиц, указанных в подпункте «б» настоящего пункта, — соответствующее должностное лицо от командира воинской части и выше

поэтому подписать можете только с тем командиром части в которой Вы сейчас служите.

И уже после подписания можете ставить вопрос о переводе к новому месту службы в частности по личной просьбе на основании ст. 15 Положения, либо просить перевести в ту часть где хотите служить и там его заключать.

Иначе никак