Но как быть в случае если объявится биологический отец и начнет заявлять о своих правах на ребенка?

Здравствуйте!

Мы распишемся, сделаем меня отцом через загс.  

Это так не работает. Ваш брак не будет являться основанием для внесения изменений в свидетельство о рождении.

Вам необходимо обратиться в орган опеки и попечительства по месту своего жительства с заявлением с просьбой выдать заключение о возможности быть усыновителем. К заявлению нужно будет приложить документы, перечень документов рекомендую уточнить в органе опеки и попечительства.

Орган опеки и попечительства составляет акт по результатам обследования условий жизни лиц, желающих усыновить ребенка.

Далее, орган опеки и попечительства в течение 15 рабочих дней со дня подачи заявления готовит заключение об их возможности быть усыновителями, которое является основанием для постановки на учет в качестве кандидатов в усыновители.

При получении положительного заключения, вашему супругу нужно будет обратится в суд, согласно статье 125 Семейного кодекса РФ:

1. Усыновление производится судом по заявлению лиц (лица), желающих усыновить ребенка. Рассмотрение дел об усыновлении ребенка производится судом в порядке особого производства по правилам, предусмотренным гражданским процессуальным законодательством.

У биологического отца будет возможность оспорить ваше отцовство в судебном порядке. Дела подобного характера рассматриваются индивидуально, всесторонне изучается ситуации конкретных лиц,  участвующих в судебном разбирательстве. Основным критерием для принятия решения будет соблюдение интересов и благополучия ребенка, будут изучаться такие обстоятельства, как причина проставления прочерка в свидетельстве о рождении, знал ли отец о своем ребенке, если знал, участие его в жизни ребенка и т.д.