Можно ли временно зарегистрировать ребенка у матери и что будет после окончания срока?

Такое невозможно.

Постоянная регистрация прекращается только в том случае, если вы смените место жительство ребенка.

Т.е сделаете ему постоянную регистрацию по другому адресу. 

Для регистрации ребенка по месту пребывания необходимо согласно п. 44  Приказа МВД России от 31.12.2017 N 984  одновременно с заявлением о регистрации по месту пребывания законному представителю ( родителю) также предоставить документы, указанные в данном пункте. 

 Наш сын (возраст меньше 14 лет) сейчас прописан со мной (т.е. по месту регистрации папы).

А возможно ли сделать так, чтобы не оставалась постоянная регистрация, а была только временная по новому адресу?

Для того, чтобы сменить ему постоянную регистрацию необходимо зарегистрировать вместе с мамой ( ей необходимо зарегистрировать ребенка), и в этом случае по Вашему месту жительства он будет снят с регистрационного учета. 

Согласно п.  31 Постановления Правительства РФ от 17.07.1995 N 713

31. Снятие гражданина с регистрационного учета по месту жительства производится органами регистрационного учета в случае: 
а) изменение места жительства — на основании заявления гражданина

Для регистрации по месту жительства ребенка, ей необходимо предоставить документы. указанные в.п 50 Приказа МВД России от 31.12.2017 N 984 «Об утверждении Административного регламента Министерства внутренних дел Российской Федерации по предоставлению государственной услуги по регистрационному учету граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации» 

Обратие внимание на следующие разъяснения:

Постановление Правительства РФ от 17.07.1995 N 713  «Об утверждении Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации и перечня лиц, ответственных за прием и передачу в органы регистрационного учета документов для регистрации и снятия с регистрационного учета граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации»

30. Граждане считаются снятыми с регистрационного учета по месту пребывания в жилых помещениях, не являющихся местом их жительства, по истечении сроков, указанных в их заявлениях о регистрации по месту пребывания.

Таким образом вы можете свободно делать временную регистрацию, главное чтобы она была у одно из родителей ребенка.

Никаких подводных камне не вижу.