Не могут ли им отказать, например, в осмотре по старому месту жительства?

Здравствуйте, Екатерина!

Местом жительства несовершеннолетних, не достигших четырнадцати лет признается место жительства их законных представителей — родителей, усыновителей или опекунов (ст. 20 ГК РФ).

Место жительства детей при раздельном проживании родителей устанавливается соглашением родителей (ст. 65 СК РФ). Для изменения места жительства ребенка, не лишенного родительского попечения разрешения органа опеки и попечительства не требуется. 

Интересует: не будет ли сложностей, если выписать ребёнка из городской квартиры в область?

 тут ясновидящих нет. Могут быть, а может и не быть.

Не ущеляются ли права ребенка, связанные с поликлиникой, детским садом и тп.

 даже если по месту регистрации нет поликлиники и детского сада, это не значит, что родители оставят ребенка без медицинской помощи или без присмотра.

Не могут ли им отказать, например, в осмотре по старому месту жительства?

 этот вопрос не понятен — что за осмотр, почему он должен проходить по прежнему месту жительства?

Если Вам помог мой ответ, Вы можете отблагодарить меня небольшой суммой через мой профиль по ссылке.

Дополнительные вопросы Вы можете задать мне в рамках индивидуальной платной консультации в чате (стоимость и время консультации согласовываются там же).

Здравствуйте!

Нет, не откажут, ребенок должен быть зарегистрирован либо по месту жительства матери, либо — отца. Если супруги состоят в браке, в свидетельстве о рождении в графе «отец» вписан супруг, оба супруга согласны, ребенка зарегистрируют по месту регистрации отца.

О каком осмотре предыдущего места жительства  идет речь, не понятно, если только предположить, что семья  стоит на учете в органах опеки. Если нет — регистрируйте ребенка по месту регистрации отца без каких-либо препятствий.