Нужно ли заверить договор нотариально или просто между собой

Добрый день!

передать маме на безвозмездное пользование

 Можно не оформлять вообще, то есть, сын остается собственником, мама только пользуется, прав собственника не приобретает.

ГК РФ Статья 689. Договор безвозмездного пользования
1. По договору безвозмездного пользования (договору ссуды) одна сторона (ссудодатель) обязуется передать или передает вещь в безвозмездное временное пользование другой стороне (ссудополучателю), а последняя обязуется вернуть ту же вещь в том состоянии, в каком она ее получила, с учетом нормального износа или в состоянии, обусловленном договором.

Если есть условия возврата, то можете составить такой договор. Заверять у нотариуса такой договор не нужно.

Нет. Не надо. Это простая письменная форма сделки