Как мне вступить в права наследника?

Для вступления в наследственные права по российскому имуществу следует учитывать следующее.

Место открытия наследства определяется по последнему месту жительства наследодателя (ст. 1115 Гражданского кодекса РФ). Поскольку квартира находится в России, наследственное дело открывается у российского нотариуса по месту нахождения квартиры.
Для оформления наследства потребуется свидетельство о смерти. Поскольку смерть зафиксирована на Украине, свидетельство о смерти должно быть легализовано или апостилировано и переведено на русский язык нотариально (ст. 72, 73 Основ законодательства о нотариате РФ).
Вы, как наследник, имеете право обратиться к нотариусу в России по месту открытия наследства с заявлением о принятии наследства в течение 6 месяцев со дня открытия наследства (ст. 1154 ГК РФ). Если срок пропущен, его можно восстановить в судебном порядке.
Поскольку вы проживаете в Австралии, вы можете оформить у российского консульства доверенность на представителя в России для подачи заявления и оформления наследства (п. 1 ст. 26 Консульского устава РФ). Также заявление о принятии наследства может быть направлено нотариусу по почте с нотариально заверенной подписью (п. 7 ст. 1153 ГК РФ).
Наследование недвижимого имущества в России регулируется российским правом (п. 1 ст. 1115 ГК РФ), независимо от места смерти наследодателя.
Возможные варианты действий:

Лично обратиться к нотариусу в России или направить заявление по почте с нотариально заверенной подписью.
Оформить доверенность в российском консульстве в Австралии на представителя в России, который будет заниматься оформлением наследства.
При необходимости обратиться в суд для восстановления срока принятия наследства, если он пропущен.
Обратите внимание, что нотариус потребует документы, подтверждающие родство (свидетельство о рождении), документы на квартиру, свидетельство о смерти с переводом и легализацией.
Резюмируя, для вступления в наследство на квартиру в России после смерти вашей мамы на Украине вам необходимо обратиться к нотариусу по месту нахождения квартиры в России, предоставить переведённое и легализованное свидетельство о смерти, а также иные документы, подтверждающие ваше право наследования. При невозможности личного обращения — оформить доверенность через консульство РФ в Австралии на представителя в России.