И что мне сейчас нужно сделать в первую очередь?

Здравствуйте, Никита.

Получил ваш вопрос. Понимаю ваше волнение — оказаться в такой ситуации в чужой стране очень неприятно. Сразу хочу вас успокоить: то, что вы гражданин Казахстана, кардинально меняет дело в вашу пользу. Ситуация абсолютно решаема, и паниковать точно не стоит. Давайте все разложим по полочкам.

Для начала — без паники. Ваше гражданство — ваше преимущество.
Россия и Казахстан входят в Евразийский экономический союз (ЕАЭС). Для граждан стран ЕАЭС действуют особые, упрощенные правила пребывания. Это наш главный козырь. Вы не просто иностранный студент, вы — студент из дружественного государства с особым статусом. Это обязательно будет учтено.

Что произошло с юридической точки зрения?
Вы нарушили не саму миграционную карту (это просто документ, который вы получаете на границе), а срок временного пребывания в РФ. Изначально для граждан Казахстана он составляет 90 суток с момента въезда.

Просрочка даже на один день формально является административным правонарушением, предусмотренным статьей 18.8 Кодекса РФ об административных правонарушениях (КоАП РФ) — «Нарушение иностранным гражданином или лицом без гражданства правил въезда в Российскую Федерацию либо режима пребывания (проживания) в Российской Федерации».

Наказание за это — штраф от 2 000 до 5 000 рублей, а в Москве, Санкт-Петербурге, Московской и Ленинградской областях — от 5 000 до 7 000 рублей. В теории возможно и административное выдворение, но на практике за такую короткую просрочку, при первом нарушении, да еще и для студента из страны ЕАЭС, выдворение практически исключено. Суды и сотрудники МВД прекрасно понимают, что ваша цель — учеба, а не нелегальная работа.

Что делать ПРЯМО СЕЙЧАС (пошаговый план)
Ваша главная задача — действовать немедленно, открыто и добросовестно. Чем дольше вы ждете, тем сложнее ситуация.

Шаг 1. Не ждите ни дня. Завтра же утром идите в миграционную службу. Вам нужно обратиться в районный отдел по вопросам миграции УВМ МВД по месту вашей регистрации (миграционного учета). Именно туда, где вас ставил на учет ваш вуз или собственник жилья. Не в университет, а именно в МВД.

Шаг 2. Соберите пакет документов. Вы должны прийти подготовленным. Возьмите с собой все, что у вас есть:

Национальный паспорт, с которым вы въезжали в РФ.
Миграционную карту (ту самую, просроченную).
Договор на обучение с вашим вузом. Это ваш главный документ! Он подтверждает цель вашего пребывания в России.
Студенческий билет и/или свежую справку из деканата, что вы являетесь студентом.
Действующий миграционный учет (уведомление о прибытии), даже если срок в нем уже истек.
Шаг 3. Объясните ситуацию инспектору. Подойдите к инспектору и спокойно, честно объясните ситуацию. Не нужно ничего выдумывать. Так и скажите: «Здравствуйте, я студент, гражданин Казахстана. По незнанию и невнимательности пропустил срок продления пребывания на 10 дней. Я понимаю, что нарушил закон, и хочу это исправить. Вот все мои документы, подтверждающие, что я учусь».

Ваша искренность и готовность исправить ошибку — ключ к успеху.

Шаг 4. Процедура и оплата штрафа.

Инспектор составит на вас протокол об административном правонарушении. Внимательно его прочтите перед тем, как подписать. В графе «Объяснения» можете еще раз кратко написать: «С нарушением согласен, допустил по невнимательности. В России нахожусь с целью обучения в [название вуза]».
Вам выпишут постановление о назначении штрафа.
Оплатите штраф немедленно. Спросите у инспектора реквизиты и идите в ближайший банк. Обязательно сохраните квитанцию об оплате.
Шаг 5. «Обнуление» ситуации и новый миграционный учет. После того как вы заплатили штраф, ваше нарушение считается «закрытым». С этого момента вы снова легализованы. Инспектор, видя оплаченную квитанцию и ваш договор на обучение, поставит вас на миграционный учет на новый срок. Обычно для студентов его продлевают на 1 год, после чего процедуру нужно повторять.

Чего делать КАТЕГОРИЧЕСКИ НЕЛЬЗЯ
Прятаться и ждать. Это худшая стратегия. Маленькая проблема превратится в большую. Если вас остановит полиция на улице с просроченными документами, разговор будет гораздо жестче.
Обращаться к сомнительным «помощникам». Не ищите посредников, которые обещают «все решить» за деньги. В 99% случаев это мошенники, которые либо просто возьмут деньги и исчезнут, либо сделают вам фальшивые документы, что уже является уголовным преступлением.
Пытаться выехать из РФ и въехать обратно («визаран»). На пограничном контроле вашу просрочку увидят, и вам могут поставить запрет на въезд на несколько лет. Проблему нужно решать внутри страны.
Резюмирую:

Никита, самое страшное в таких ситуациях — это неизвестность и бездействие. Теперь у вас есть четкий план. Ваш козырь — гражданство Казахстана и статус студента. Ваша стратегия — максимальная открытость и быстрота.

Идите в МВД, честно признайте ошибку, оплатите штраф и легализуйтесь на основании договора об обучении. Помните, ваша цель — показать, что вы добросовестный студент, который совершил ошибку и хочет ее исправить. Сотрудники МВД, как правило, это видят и учитывают.

Действуйте! У вас все получится.