Каков должен быть порядок моих действий

В таком случае, у Вас нет обязанности по удовлетворению заявленных требований.

Ваше утверждение о том, что 

плита является общедомовым имуществом.

Справедливо и обоснованно.

Балконная плита отнесена к общедомовому имуществу, что следует из Постановления Правительства РФ от 13.08.2006 N 491 которым определено, что к нему отнесены

в) ограждающие несущие конструкции многоквартирного дома (включая фундаменты, несущие стены, плиты перекрытий,балконные и иные плиты, несущие колонны и иные ограждающие несущие конструкции);

И поскольку не доказано, что сама плита предназначена для  обслуживания одной квартиры, она подлежит включению в состав общего имущества МКД.

В связи с чем, на собственника гаража также как и на УК возлагается обязанность доказать наличие в Ваших действиях всех элементов деликта:

— факта причинения вреда

— действий (бездействия) которые повлекли за собой причинение вреда

— наличие причинно-следственной связи между Вашими действиями (бездействием) и причиненным вредом.

Пока не установлено, что именно Вы обязаны содержать плиту и обеспечить ее должную гидроизоляцию, исключающую проникновение влаги, а также то, что залив явился следствием Ваших действий — у Вас нет обязанности удовлетворять заявленные Вам требования.

Каков должен быть порядок моих действий.

Начните с обращения в УК с требованием устранить недостатки плиты за ее счет, исключающих возможность проникновения воды за ее пределы.