Может ли человек выкупить мой долг у банка, какое этого есть заявление?

Добрый день, да.
Такой процесс называется «уступкой права требования» (цессия). После этого новый кредитор (цессионарий) получает право взыскивать с вас долг вместо банка.
Банк продает долг коллекторам или другому лицу (часто с дисконтом).
Уведомляет вас о смене кредитора (письменно или через смс/почту).
Новый кредитор связывается с вами, чтобы договориться о погашении.

Если вы хотите, чтобы конкретный человек (например, родственник) выкупил ваш долг, то:

Обратитесь в банк с запросом о возможности выкупа.
Банк может потребовать:

Заявление о согласии на уступку права требования (образец обычно дает сам банк).
Документы потенциального покупателя (паспорт, ИНН, иногда справку о доходах).
Договор цессии (его заключают между банком и новым кредитором).

Заемщик или его представитель обращается в банк с заявлением о выкупе долга и переуступке права требования (договоре цессии).