Здравствуйте, такая ситуация: сдал военный билет через МФЦ для обновления, так как необходимо было встать на учёт в военкомат по новому месту прописки

Здравствуйте! Да, вы правы: установленный регламент госуслуги в вашем случае — 30 календарных дней, и срок уже нарушен. Вот что вы можете сделать дальше:

 
 1. Обратитесь в МФЦ
Позвоните или лично посетите МФЦ, где вы сдавали документы. Уточните:

Был ли документ получен от военкомата;
Если не был — на каком этапе сейчас находится ваше заявление;
Если был — почему вам не сообщили о готовности.
 Возьмите письменный ответ (или хотя бы зафиксируйте ФИО сотрудника и его слова).

 
 2. Обратитесь в военкомат
Иногда задержка связана именно с военкоматом, особенно если документ «застрял» на их стороне.

Позвоните в военкомат по новому месту жительства;
Уточните, поступало ли к ним ваше заявление из МФЦ и что с ним сейчас;
Можно посетить лично, взяв с собой копию расписки из МФЦ.
 
 3. Подача жалобы
Если после обращений нет результата, вы можете подать официальную жалобу. Варианты:

 Через сайт госуслуг
Зайдите в свой личный кабинет;
Перейдите в раздел «Помощь и поддержка»;
Оформите обращение по факту нарушения сроков исполнения госуслуги.
Через Роспотребнадзор или Прокуратуру
Если ситуация критическая (например, вам срочно нужен документ), можно подать жалобу на бездействие.

 
Если хотите, я могу помочь вам составить жалобу.