Подскажите, как мне поменять паспорт и получить свидетельство о разводе?

Ваша ситуация действительно сложная, но решаемая. Опишу порядок действий в соответствии с действующим законодательством:

Получение нового паспорта

Даже если ваш текущий паспорт формально недействителен, вы вправе подать заявление на его замену в отделении МВД или МФЦ. В заявлении укажите причину: смена фамилии, утрата/недействительность прежнего паспорта.
В качестве подтверждения личности вас попросят предоставить любой имеющийся документ (например, СНИЛС, ИНН, свидетельство о рождении вашего ребёнка, справку с прежней работы, решение суда о разводе и пр.). Основной документ — копия решения суда о разводе и копия (даже неоригинальная) свидетельства о браке, если есть. Обычно для подачи заявления о замене паспорта достаточно копии документов или письменного объяснения обстоятельств их отсутствия.
Заявление обязаны принять, после чего возможно временно подтвердить вашу личность с помощью свидетелей (например, соседей или родственников) либо по внутренней базе МВД.
После процедуры вам выдадут новый паспорт с актуальными данными.
Восстановление свидетельства о разводе

Когда будет выдан новый паспорт, вы сможете обратиться в ЗАГС за дубликатом свидетельства о расторжении брака.
Для этого понадобится:

Новый действующий паспорт;
Копия судебного решения о расторжении брака либо сведения о дате и месте развода;
Заявление на выдачу дубликата.
Госпошлина за повторное свидетельство составляет 500₽.
Если нет возможности лично обратиться в ЗАГС, подайте заявление через портал Госуслуг или МФЦ — в этом случае запрос отправится по внутренним каналам, и вы получите дубликат.
Если в МФЦ/паспортном столе всё равно отказывают

Потребуйте письменный отказ с указанием причины (по закону они обязаны его выдать).
С этим отказом обратитесь в прокуратуру или вышестоящее отделение МВД/ЗАГС: отказ в оказании государственной услуги при наличии копий документов и возможности иными способами подтвердить личность — нарушение закона.
Также уточните, согласится ли органы МВД провести идентификацию вашей личности по базе ФМС, если вы проживаете по месту регистрации длительное время.
Кратко:

Подайте заявление на замену недействительного паспорта с копиями решений суда или иных документов, подтвердите личность доп. бумагами.
После получения нового паспорта — оформляйте дубликат свидетельства о разводе через ЗАГС или Госуслуги.
При необоснованном отказе — требуйте официальный отказ и обращайтесь в прокуратуру или в вышестоящие органы.
Этот порядок подтверждён практикой восстановления паспортов при отсутствии живого документа и противоречиях в документах о браке/разводе