Можно ли претендовать на участок в СНТ, который выделялся в пользование родной сестре (инвалиду) моего отца, но так и не был ею приватизирован (когда закон вступил в силу при смене государства)

Отвечаю на ваш вопрос как практикующий юрист в сфере земельного и наследственного права. Ситуация действительно неоднозначная, но в ней есть юридические основания для выработки стратегии — в зависимости от статуса участка на сегодняшний день.

 
1. Правовой статус участка в СНТ: что важно выяснить
Ключевое значение имеет форма предоставления участка вашей тёте (сестре отца). Если участок:

был предоставлен в пользование (а не в собственность) до 2001 года;
не был приватизирован;
и при этом не передан по наследству,
то он, с высокой вероятностью, на сегодняшний день юридически является:

либо неоформленным объектом недвижимости, по-прежнему числящимся за умершим членом СНТ;
либо — если данные были сняты — имущественно бесхозяйным участком.
 
2. Право наследования: кто мог унаследовать
Поскольку:

тётя была родной сестрой вашего отца;
её единственный сын умер в несовершеннолетнем возрасте до неё;
отец вашей тёти (ваш дедушка) тоже умер (предположительно),
то вы не относитесь к числу наследников по закону (первая и вторая очередь уже отсутствуют, а вы — племянник — входите в третью очередь). Но:

если никто не вступал в наследство после смерти тёти, и
если срок (6 месяцев) пропущен всеми потенциальными наследниками,
то имущество (в том числе участок) формально должно перейти в собственность государства как выморочное (ст. 1151 ГК РФ).

Но есть важное исключение — если имущество не было оформлено и осталось в фактическом владении.

 
3. Фактическое владение участком: возможность признания права
Если вы или ваши родственники:

фактически пользовались участком (обрабатывали, ухаживали, платили членские взносы),
имеете фотографии, документы из СНТ, подтверждающие участие в жизни участка и садоводства,
то у вас есть возможность обратиться в суд с иском о признании права собственности в порядке приобретательной давности, при наличии следующих условий:

Условия (ст. 234 ГК РФ):
открытое, непрерывное, добросовестное владение участком как своим не менее 15 лет;
желательно, чтобы участок не числился за иным собственником (можно проверить в Росреестре и у председателя СНТ).
Также можно ссылаться на:

ст. 222.1 ГК РФ — если участок не зарегистрирован и не имеет собственника, он может быть оформлен за фактическим пользователем через суд;
постановление Пленума ВС РФ №10 от 25.12.2018 — суды признают право собственности на дачные и садовые участки при наличии фактического пользования, даже без полного комплекта документов.
 
4. Пошаговый алгоритм действий
Шаг 1. Получите сведения из Росреестра
Закажите выписку ЕГРН на участок:

через МФЦ,
либо через сайт Росреестра по кадастровому номеру или адресу (если известен).
Цель: выяснить — зарегистрировано ли право собственности, и за кем.

Шаг 2. Получите справку в СНТ
Запросите у председателя или правления СНТ:

протоколы, списки, уставные документы,
сведения о том, кто числится за этим участком,
данные об оплате взносов (если велись),
любую информацию, подтверждающую, что вы продолжали пользоваться участком после смерти тёти.
Шаг 3. Подготовьте иск в суд
Если:

собственник не установлен,
вы фактически пользовались участком 15 лет и более,
у вас есть подтверждающие доказательства (фото, свидетели, справки из СНТ),
вы можете подать в районный суд иск о признании права собственности в порядке приобретательной давности.

 
5. Альтернатива: признание участка выморочным имуществом
Если участок уже снят с учёта в СНТ и в Росреестре нет записи о владельце, можно подать заявление в администрацию муниципалитета с просьбой:

признать участок бесхозяйным и передать его в аренду или собственность,
оформить его по программам «дачной амнистии» (если она действует в регионе).
Но этот путь длиннее и менее гарантирован, чем обращение в суд с доказательствами владения.

 
Вывод:
Вы можете претендовать на участок, если:

никто не вступал в наследство;
участок не оформлен в чьей-либо собственности;
вы или ваша семья фактически пользовались им как своим на протяжении последних 15 лет и более.
В этом случае у вас есть основание для обращения в суд с иском о признании права собственности по приобретательной давности.

Если потребуется — могу помочь составить заявление в суд, подготовить документы или написать запрос в СНТ и Росреестр.