Для подписания договора с институтом ( ребенка 17 лет) нужна доверенность ( брат ) или согласие родителей в письменном виде?

Для подписания договора с институтом от имени 17-летнего ребёнка обязательно требуется письменное согласие родителей (законных представителей). Это требование закреплено в ст. 26 ГК РФ, которая регулирует дееспособность несовершеннолетних в возрасте от 14 до 18 лет.  

Основные положения:
Согласие родителей
Несовершеннолетние в этом возрасте могут совершать сделки только с письменного согласия родителей, усыновителей или попечителей. Для заключения договора на обучение такое согласие оформляется в свободной письменной форме с указанием паспортных данных родителя и ребёнка.  Доверенность от брата
Доверенность от имени несовершеннолетнего может быть выдана только при наличии письменного согласия родителей, за исключением случаев, когда несовершеннолетний является дееспособным (например, вступил в брак или объявлен эмансипированным). Если брат действует как представитель, ему потребуется нотариально удостоверенная доверенность с подтверждением полномочий родителей.
Самостоятельно, без согласия родителей, 17-летний может:

Распоряжаться заработком, стипендией или иными доходами;
Совершать мелкие бытовые сделки;
Осуществлять права автора интеллектуальной собственности.  
Примеры документов:
Согласие родителей на заключение договора с институтом (указывается ФИО родителя, паспортные данные, реквизиты договора).
Доверенность, заверенная нотариусом, если брат представляет интересы ребёнка (требуется согласие родителей и документы, подтверждающие их полномочия). 
Важно:
Если договор предполагает финансовые обязательства (например, оплату обучения), ответственность за их выполнение несут родители, пока ребёнку не исполнится 18 лет.
В некоторых случаях (например, при поступлении в вуз) институты требуют нотариально заверенное согласие родителей.  
Таким образом, для подписания договора с институтом от имени 17-летнего ребёнка необходимо письменное согласие родителей. Доверенность от брата возможна только при условии предварительного одобрения родителей и нотариального заверения.