Здравствуйте, может ли мама выписаться и прописаться в другую квартиру без детей, так как у детей нет штампа в свидетельстве о рождении о гражданстве?

Да, мама может выписаться и прописаться в другую квартиру без детей, но есть нюансы.

 
1. Почему отсутствие штампа о гражданстве не мешает
Штамп о гражданстве в свидетельстве о рождении не влияет на возможность регистрации (прописки/выписки).
Главное — у ребёнка должно быть гражданство РФ либо подтверждение права на регистрацию в России. Если гражданство ещё не оформлено, это отдельная процедура, но она не блокирует действия мамы как взрослого.
 
2. Что важно знать про выписку без детей
Если мама просто выпишется из квартиры, где зарегистрированы дети, дети останутся там прописанными до тех пор, пока их не снимут с регистрационного учёта.
Выписать несовершеннолетних без предоставления им другого жилья можно только:

по решению родителей (с регистрацией по новому адресу вместе с одним из них),
либо по решению суда.
Органы опеки участвуют, если детей планируют выписать в худшие условия.
 
3. Риски
Если мама хочет забрать детей в новую квартиру, то сначала оформляют регистрацию на новом месте, потом снимают со старого.
Если она выпишется одна, а дети останутся прописанными по старому адресу, потом их выписка будет сложнее, особенно если собственник жилья другой человек.
 
Вывод: мама может выписаться и прописаться отдельно, но дети при этом останутся по прежнему адресу. А отсутствие штампа о гражданстве не является юридическим препятствием — просто нужно будет отдельно подтвердить гражданство ребёнка при его будущей регистрации.