Что делать, если штраф за превышение на весогабаритном контроле требуют оплатить водителю?

Тогда примите во внимание следующее.

Относительно возможности взыскания с работника в качестве причиненного ущерба административного штрафа на практике сложилось две позиции.

В силу первой — штраф рассматривается как убытки причиненные работодателю, которые подлежат взысканию с работника.

Соответствующий вывод, например, имел место в Апелляционном определении Московского городского суда от 28.10.2019 по делу N 33-47109/2019.

Более того, на возможность взыскания ущерба в таком случае обращал внимание и Роструд в письме от от 19.10.2006 N 1746-6-1, указавшим, что

К прямому действительному ущербу могут быть отнесены, например, недостача денежных или имущественных ценностей, порча материалов и оборудования, расходы на ремонт поврежденного имущества, выплаты за время вынужденного прогула или простоя, суммы уплаченного штрафа.

Вторая позиция связана с тем, что административный штраф не подлежит взысканию с работника.

Вывод представлен, например, в (Определение Второго кассационного суда общей юрисдикции от 18.05.2021 N 88-10227/2021 по делу N 2-1061/2020

где было указано, что 

оплаченный истцом штраф является мерой ответственности собственника транспортного средства и не относится к прямому действительному ущербу работодателя, поскольку сумма уплаченных финансовых санкций не относится к категории наличного имущества истца; кроме того, в нарушение положений ст. 247 Трудового кодекса Российской Федерации работодатель до принятия решения о возмещении ущерба ответчиком не провел проверку с обязательным истребованием от работника (бывшего работника) письменного объяснения для установления размера причиненного ущерба и причин его возникновения; предусмотренный ч. 3 ст. 392 Трудового кодекса Российской Федерации срок обращения в суд с иском пропущен.

В Вашем случае, Вы отказываетесь от добровольного возмещения штрафа, ссылаясь на то, что со стороны работодателя не доказано причинения ущерба по Вашей вине.

Условием для взыскания с Вас ущерба является согласно ст. 233 ТК РФ причинение вреда в результате  виновного противоправного поведения (действий или бездействия).

Пока Ваша вина не доказана работодателем — у Вас нет оснований возмещать ему штраф.

Поэтому ссылаетесь на то, что причиной привлечения к ответственности является предоставление Вам негабаритного транспортного средства, в следствие чего и было допущено нарушение.

Поэтому ответственность за действия самого работодателя Вы не можете нести ответственность и у Вас нет обязанности возмещать штраф.