Имеют ли они право не принимать?

Вуз не обязан принимать справку из негосударственной психиатрической клиники, если внутренние правила требуют справки от государственных медицинских организаций. Факт того, что раньше принимали, не создаёт юридического обязательства на будущее.

Что можно сделать:

Уточнить основания отказа письменно (запросить официальный ответ от деканата или приёмной комиссии).

Сделать повторное заключение в государственной психиатрической клинике, чтобы соответствовать требованиям.

При желании можно подать жалобу в Минобразования или в вышестоящий орган, если считаете, что правила нарушают ваши права, но обычно вуз выигрывает при соблюдении своих локальных правил.