Кто должен наблюдать и спиливать И Убирать ветки с крыши

Кто обязан следить за деревом и спиливать ветки — владелец/пользователь земельного участка, на котором растёт дерево.
Если дерево растёт на территории ГСК (общая земля кооператива) — обязанность у кооператива (правления) как у владельца/пользователя земли и балансодержателя территории. Это следует из общего правила о бремени содержания имущества (ст. 210 ГК РФ) и обязанностей землепользователя содержать участок безопасно (ст. 42 ЗК РФ).
Если дерево за забором ГСК, на муниципальной земле — отвечает администрация/подведомственное благоустройству учреждение (заявка подаётся в отдел благоустройства — они обследуют, оформляют порубочный билет, организуют обрезку/спил). Это зона местного самоуправления и муниципальных «Правил благоустройства». 
Если дерево на участке соседа (другого гаража/бокса) — обязан сосед как собственник/пользователь земли. Если его ветки причиняют ущерб вашему строению — это основание требовать устранения нарушения (негаторный иск, ст. 304 ГК РФ) и возмещения вреда (ст. 1064 ГК РФ). 
Кто убирает ветки с вашей крыши.
Экстренно безопасно убрать ветки с кровли вы вправе сами (или нанятая организация), чтобы не увеличивать ущерб. Расходы и ремонт потом взыскиваются с ответственного (кооператива/муниципалитета/соседа) как реальный ущерб (ст. 15 ГК РФ) при наличии доказательств.
Если дерево на земле ГСК/муниципалитета, логично требовать полный комплекс: обследование, обрезку/спил + уборку последствий на крыше как часть устранения нарушения/вреда. Откажут — взыскиваем затраты и убытки через суд (ст. 1064, 15 ГК РФ).
Почему так по закону и практике
Содержать и устранять опасность обязан тот, на чьей земле дерево: бремя содержания имущества — на собственнике/пользователе (ст. 210 ГК РФ), землепользователь обязан соблюдать экологические/санитарные и иные требования безопасности (ст. 42 ЗК РФ).
Если из-за бездействия балансодержателя нанесён ущерб (повреждена крыша), он возмещается в полном объёме (ст. 1064 ГК РФ). Верховный Суд неоднократно подтверждал: отвечают те, кто обязан содержать насаждения; «плохая погода» не оправдание, нужно доказать надлежащее содержание и отсутствие вины. 
Если ветви/корни с чужой стороны мешают пользоваться вашим объектом, применяется негаторный иск (ст. 304 ГК РФ) — требование обязать устранить нарушение (обрезать ветви/снести аварийное дерево). Суды такие требования удовлетворяют при наличии доказательств препятствий и угрозы повреждения.
Важное предупреждение: самовольный спил чужого дерева на муниципальной/чужой земле — риск административной ответственности. Работы по городским зелёным насаждениям делают по правилам благоустройства и с порубочным билетом.
Пошаговый план, чтобы решить вопрос и не «зависнуть»
Шаг 1. Зафиксируйте всё сейчас.
Фото/видео дерева и крыши крупным планом и общим планом, дату/время, схему где растёт дерево относительно гаража, акты/сметы кровельщика о повреждениях (если уже есть). Это база для претензии и, при необходимости, суда (для убытков по ст. 15 ГК РФ).

Шаг 2. Выясните, чья земля под деревом.
— Смотрите забор/границы ГСК, кадастровую карту (публичная карта Росреестра) или документы ГСК/аренды земли. Это ключ к выбору адресата.

Шаг 3А. Если дерево на земле ГСК (общая территория).

Подавайте письменное заявление в правление ГСК (в 2 экз. или заказным письмом):

описать угрозу и повреждения;
потребовать в 10 дней: обследование, санитарную/аварийную обрезку/спил и уборку ветвей с крыши, восстановление целостности кровли/компенсацию расходов;
сослаться на ст. 210 ГК РФ и ст. 42 ЗК РФ, а также на обязанность правления обеспечивать надлежащее состояние общего имущества по уставу (обычно прямо прописано; см., напр., типовые уставные формулировки ГСК).

Если молчат/отказ —

за свой счёт безопасно убрать ветви/перекрыть протечки (минимизация ущерба), сохранив чеки/акты;
направить претензию о возмещении расходов/ущерба (ст. 1064, 15 ГК РФ);
при необходимости — иск в суд: о взыскании убытков и (или) об обязании устранить угрозу (негаторный иск по ст. 304 ГК РФ).

Шаг 3Б. Если дерево на муниципальной земле (за пределами ГСК).

Направьте заявление в администрацию (отдел благоустройства) о признании дерева аварийным и организации обрезки/спила и уборки: фото, точные ориентиры, что уже есть повреждения крыши. Обычно создают комиссию и оформляют порубочный билет для подрядчика. domsovet.tv
Нет реакции/затягивают — подайте жалобу в прокуратуру и/или административный иск к администрации о признании бездействия незаконным и об обязании выполнить работы (ст. 218, 219 КАС РФ). Укажите угрозу имуществу и уже причинённый вред. 
Отдельно (или вместе) — взыскание убытков за повреждённую кровлю по ст. 1064, 15 ГК РФ. Верховный Суд подтверждает: балансодержатель обязан доказывать отсутствие вины; ссылаться лишь на ветер/погоду недостаточно.

Шаг 3В. Если дерево соседа (другого гаража/участка).

Письменная претензия соседу: требование в разумный срок обрезать нависающие ветви/спилить аварийное дерево и компенсировать ущерб крыше; предупреждение об обращении в суд.
При отказе — иск:

негаторный (ст. 304 ГК РФ) — обязать устранить препятствия (обрезка/спил);
о возмещении вреда (ст. 1064 ГК РФ) — стоимость ремонта/уборки.

Шаг 4. Безопасность и законность работ.

Не спиливайте чужое дерево самовольно — по городским насаждениям нужны разрешения, за самовольную порубку предусмотрены штрафы (адм. ответственность). Работы выполняет уполномоченная организация по заявке балансодержателя.
Что приложить к заявлению/претензии (короткий чек-лист)
Фото/видео дерева и повреждений крыши (дата).
Схема/описание расположения дерева (на чьей земле).
Акт осмотра (можно составить с 2 свидетелями), при возможности — заключение специалистов (кровельщик/арборист) о полу-сухом/аварийном состоянии.
Смета/чеки на уборку ветвей и ремонт кровли (для последующего взыскания).
В претензии/заявлении — ссылки: ст. 210, 304, 1064, 15 ГК РФ, ст. 42 ЗК РФ; для администрации — ст. 218–219 КАС РФ (на случай обжалования бездействия).
Если уже есть ущерб крыше
Соберите доказательства и направьте претензию ответственному лицу.
При отказе/молчании — иск о взыскании убытков. Судебная практика по «деревьям» стабильна: отвечает балансодержатель/владелец земли, если не докажет, что дерево содержалось надлежащим образом и вред возник из-за непреодолимой силы (ВС прямо указывал, что «плохая погода» сама по себе не освобождает).
Итог для вашей ситуации
Наблюдать, обследовать, обрезать/спиливать и убирать ветки обязан тот, на чьей земле растёт дерево: в ГСК — правление кооператива, вне кооператива — администрация/подрядчик благоустройства, у соседа — сосед.
С вашей стороны: зафиксировать, направить письменное требование адресату, при необходимости — убрать ветви с крыши для предотвращения большего ущерба с сохранением всех чеков и потом взыскать расходы. Основания: ст. 210, 304, 1064, 15 ГК РФ; ст. 42 ЗК РФ; по бездействию властей — ст. 218–219 КАС РФ.