Если мы найдем другое агенство и через них продадим, нужно ли оплачивать услуги того агентства за продвижение квартиры?

Добрый вечер!

Если письменного договора с первым агентством нет и покупателя вам оно не привело, то платить «за продвижение» вы, как правило, не обязаны. Риски оплаты появляются в двух случаях:

именно их клиент у вас купит квартиру (должна быть доказана причинно-следственная связь между их действиями и сделкой);
агентство докажет ваши согласованные и принятые платные услуги/расходы (фото, реклама и т. п.) — и только в документально подтверждённом объёме.
Почему так по закону

Сделки граждан с юрлицами должны быть в простой письменной форме. Без неё в споре сторона не может ссылаться на показания свидетелей — только на переписку, акты, счета, отчёты и пр. То есть устную «договорённость» агентству придётся подтверждать документами. Это резко снижает шансы на взыскание «комиссии за продвижение».
По договору услуг заказчик платит за оказанные услуги в порядке, который установлен договором. Когда договора нет, взыскивают лишь то, что реально оказано и принято, либо по обычной цене за такие услуги — но это нужно доказать. «Показы» сами по себе ещё не продажа и не комиссия за результат. 
Заказчик вправе в любой момент отказаться от услуг, оплатив только фактически понесённые и подтверждённые расходы исполнителя (и это правило императивно). В потребительских отношениях (гражданин – агентство) действует и ст. 32 ЗОЗПП с тем же смыслом. Верховный суд в обзорах эту логику подтверждает: неустойки и «штрафы за отказ» — мимо, расходы — только документальные. 
Если отношения всё-таки квалифицировать как агентские, вознаграждение агенту платят в размере и порядке, предусмотренных договором. Без письменного договора и без результата (покупатель не от них) требовать «комиссию» сложно. А вот если вы продадите тому покупателю, которого нашёл первый агент, даже через другое агентство и позже, у первого могут появиться аргументы — но доказывать связь должен он.

Что сделать на практике, чтобы не попасть на необоснованные платежи

Зафиксируйте разрыв отношений. Направьте в агентство короткое письмо/сообщение:
«С [дата] прекращаю сотрудничество, прошу прекратить рекламу и показы. Договор не заключался. Обязательств по оплате не принимал(а). Если имеются документально подтверждённые расходы — направьте их перечень с копиями документов и обоснованием». Отправьте на email/мессенджер, где раньше шла переписка, или заказным письмом. Это поможет и по ст. 162 ГК РФ (нужны письменные доказательства). 
Проверьте «чей покупатель». Попросите первое агентство прислать список тех, кому они показывали квартиру (ФИО/телефоны). Со вторым агентством включите в договор условие, что покупатель не был приведён иным посредником, и требуйте от него проверять это и обезопасить вас в случае претензий (гарантии/компенсация). Это обычная практика на рынке.
Не соглашайтесь на «маркетинговые пакеты задним числом». Любые суммы возможны только при доказанных и согласованных заранее работах и расходах: договор с фотографом, счета за рекламу, акты. Нет документов — нет оплаты. Даже при отказе от услуг оплачиваются лишь фактические расходы, а не «комиссия за продвижение». 
Если их клиент вдруг вернётся. Если через время придёт покупатель именно из их показов, у первого агентства появится позиция на вознаграждение (как минимум — часть). Здесь важно кто и когда впервые привлёк покупателя и можно ли это подтвердить перепиской, журналами показов и т. п. Без таких доказательств взыскать вознаграждение крайне трудно. 
Соберите «страховочную» папку: скриншоты объявлений, переписка, список показов, ключи/доступы (кто, когда брал), ваши сообщения о прекращении сотрудничества. Это те самые «иные доказательства», на которые допускает ссылаться закон при отсутствии письменной формы.

Когда платить всё же придётся

Продали тому самому покупателю, которого привёл первый агент, и он это докажет — вероятна оплата вознаграждения (размер — предмет торга/суда; без договора суды часто ориентируются на «обычную цену» для таких услуг, но только при доказанной связи). 
Агентство представило надлежащие документы по согласованным расходам (реклама, фото и т. п.) — возмещаются только фактически понесённые и разумные траты. Никаких «штрафов за отказ» и абстрактных «затрат на продвижение». 
Если агентство начнёт требовать деньги
Ответьте письменно: попросите правовое основание (вид договора), сумму, расчёт, сроки, и главное — документы, подтверждающие оказание согласованных платных услуг/расходов и/или что сделка совершена благодаря их действиям. Сошлитесь на ст. 161, 162, 779, 781, 782 ГК РФ и ст. 32 ЗОЗПП. Без документов платить откажитесь.
Итог
Меняйте агентство смело. Первому ничего не должны, если оно не привело вашего реального покупателя и не понесло согласованных с вами документально подтверждённых расходов. Всё остальное — переговоры и, при желании, «мировая» ради экономии нервов.