Кто и в какие сроки в такой ситуации его должен регистрировать?

Здравствуйте, Алина. Ситуация с регистрацией иностранного гражданина по месту пребывания в вашем случае требует четкого понимания правил. 
Основные положения:

Обязанность по регистрации: Иностранные граждане, временно пребывающие в Российской Федерации, обязаны встать на учет по месту пребывания. Это предусмотрено Федеральным законом от 18.07.2006 N 109-ФЗ «О миграционном учете иностранных граждан и лиц без гражданства в Российской Федерации».
Сроки постановки на учет: Иностранный гражданин должен быть поставлен на учет в течение 7 рабочих дней со дня прибытия в место пребывания (за исключением случаев, предусмотренных законодательством).
Место пребывания: Местом пребывания иностранного гражданина является жилое помещение, гостиница, санаторий, дом отдыха, кемпинг, туристская база, медицинская организация или иное учреждение, а также помещение, не являющееся местом жительства, в котором он фактически проживает.
Кто уведомляет о прибытии: Уведомление о прибытии иностранного гражданина подает принимающая сторона. Принимающей стороной могут быть:
Гражданин Российской Федерации.
Постоянно проживающие в Российской Федерации иностранные граждане.
Юридическое лицо (гостиница, организация, где работает иностранец).
Индивидуальный предприниматель, если он предоставляет жилое помещение иностранному гражданину.

Ваш случай:

Аренда апартаментов (нежилое помещение) на 6 дней:

Да, иностранного гражданина нужно зарегистрировать по месту пребывания, даже если он арендует апартаменты на короткий срок.
Кто должен регистрировать: Принимающей стороной в этом случае является собственник апартамента (частное лицо), которое сдало его в аренду.
Сроки регистрации: Регистрация должна быть осуществлена в течение 7 рабочих дней с момента прибытия иностранного гражданина в апартаменты.
Процедура: Собственник апартамента (принимающая сторона) должен предоставить в территориальный орган МВД (ГУВМ МВД России) уведомление о прибытии иностранного гражданина. К уведомлению прилагаются копия паспорта иностранного гражданина и копия его миграционной карты.
Важно: Уведомление может быть подано как лично, так и через многофункциональный центр предоставления государственных и муниципальных услуг (МФЦ) или в электронном виде (через портал Госуслуг).
Переезд в отель:

После выезда из апартаментов и заселения в отель, иностранного гражданина должна зарегистрировать по месту пребывания принимающая сторона – администрация отеля.
Отель обязан подать уведомление о прибытии иностранного гражданина в течение 1 рабочего дня с момента его заселения.

Сроки и ответственность:

Сроки: Соблюдение сроков регистрации имеет важное значение. Нарушение сроков влечет за собой административную ответственность (штрафы для иностранного гражданина и принимающей стороны).
Ответственность принимающей стороны: Если собственник апартамента не зарегистрирует иностранного гражданина, ему грозит административный штраф.
Ответственность иностранного гражданина: Иностранный гражданин также несет ответственность за несоблюдение правил миграционного учета.

Порядок действий:

Собственник апартамента:
Удостоверьтесь, что у вас есть необходимые документы (копия паспорта и миграционной карты иностранного гражданина).
Подайте уведомление о прибытии в территориальный орган МВД (ГУВМ МВД России) в течение 7 рабочих дней с момента прибытия иностранца.
Сохраните копию уведомления с отметкой о принятии (это подтверждает, что вы выполнили свои обязанности).
Иностранный гражданин:
Предоставьте собственнику апартамента необходимые документы для регистрации.
После заселения в отель убедитесь, что вас зарегистрировали по месту пребывания.
Взаимодействие с органами МВД:
В случае возникновения вопросов или сложностей, обратитесь в территориальный орган МВД (ГУВМ МВД России) для получения разъяснений.

Рекомендации:

Четко проинформируйте иностранного гражданина: Объясните ему необходимость регистрации и процесс ее осуществления.
Обеспечьте соблюдение сроков: Не допускайте просрочек в подаче уведомлений.
Сохраняйте подтверждающие документы: Храните копии уведомлений о прибытии и другие документы, связанные с регистрацией.
Обратитесь к юристу (если необходимо): Если у вас возникают вопросы или сомнения, проконсультируйтесь с юристом, специализирующимся на миграционном праве.

Соблюдение правил миграционного учета – это ваша обязанность. Правильная регистрация иностранного гражданина позволит избежать проблем с законом. Если вам был полезен мой ответ поставьте пожалуйста+, это очень важно для меня.