Будет ли квартира по очереди жены считаться совместно нажитой и могут ли меня выписать

Добрый день. Да это жилое помещение будет считаться совместно нажитым (ст. 34 СК РФ), так как оно будет приобретено не по сделке а передано на основании акта органа местного самоуправления.

Пример подобного подхода ВС РФ, правда относительно земельного участка, но это в данном случае не важно

Таким образом, законодатель разграничивает в качестве оснований 
возникновения гражданских прав и обязанностей договоры (сделки) и акты 
государственных органов, органов местного самоуправления и не относит 
последние к безвозмездным сделкам. Бесплатная передача земельного участка  одному из супругов во время брака на основании акта органа местного  самоуправления не может являться основанием его отнесения к личной  собственности этого супруга. 

В связи с чем, при расторжении брака, бывшая супруга  не может потребовать Вашего выселения на основании ст. 31 ЖК РФ

Здравствуйте . 

Вопрос: будет ли считаться в таком случае это жильё совместно нажитым, и буду ли я иметь на него такие же права

 Дело в том, что если квартира предоставляется вашей жене в рамках программы улучшения жилищных условий, на которую она встала в очередь ещё до брака, то это может считаться её личным имуществом( ст. 36 СК ) .

Прописка в квартире не даёт права собственности. Это лишь право проживать в ней. Ваша жена, как собственник,  имеет право инициировать процесс вашей выписки из квартиры в судебном порядке, если будет иметь на то основания.
Если квартира приобретается по договору купли-продажи с доплатой, важно уточнить, из каких средств производится доплата. Если она оплачивается из средств  семейного бюджета, то это может повлиять на статус имущества и доля, приходящаяся на разницу в цене, все-таки будет в совместной собственности супругов,