Могут ли возложить долги по ЖКУ на опекуна и нужно ли менять регистрацию тети

В такой ситуации вы можете прописать тетю к себе, т.к. у собственника есть право быть зарегистрированным там, где он считает нужным. При этом ее право собственности останется за ней. В судебном порядке можно определить порядок оплаты коммунальных услуг с выдачей каждому отдельной квитанции, чтобы долг не копился. При этом тетя тогда будет платить свою долю за капремонт и содержание, отопление. Остальные услуги, так как она будет зарегистрирована по иному адресу, можно будет не оплачивать, но конечно нужно будет сообщить всем службам, что она фактически проживает по такому-то адресу и зарегистрирована там, чтобы за свет, воду, газ на нее не начисляли.

Если тетя будет зарегистрирована у вас и службы будут знать ее адрес, то и письма будут приходить по адресу регистрации

Для регистрации нужны следующие документы. Постановление Правительства РФ от 17.07.1995 N 713 «Об утверждении Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации и перечня лиц, ответственных за прием и передачу в органы регистрационного учета документов для регистрации и снятия с регистрационного учета граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации»

16. Гражданин, изменивший место жительства, обязан не позднее 7 дней со дня прибытия на новое место жительства обратиться к лицам, ответственным за прием и передачу в органы регистрационного учета документов, и представить:

документ, удостоверяющий личность;

заявление установленной формы о регистрации по месту жительства;

документ, являющийся в соответствии с жилищным законодательством Российской Федерации основанием для вселения в жилое помещение.

И второй вопрос: стоит ли тетю выписывать из ее квартиры и регистрировать по моему месту жительства? По какому будут письма/ ответы приходить если я буду делать запросы в суд, ведомства( по месту регистрации тети или на мой адрес) как опекун? 

Выписка автоматически снимет регистрацию вашей тёти по прежнему адресу, и новые уведомления, судебные постановления будут направляться ей по новому месту проживания (по вашему адресу).
Если вы хотите сохранить контроль над ситуацией и получать всю корреспонденцию своевременно, тогда нужна  регистрация по своему адресу.

Смена места регистрации не снимает обязательств по погашению долгов по предыдущему месту жительства, поскольку взыскивать задолженность всё равно будут с самой тёти и её сына, независимо от адреса прописки.