Как возможно доказать что контракт с Мин обороны первый, а предыдущий контракт в днр закончился 21.01.2024 году

Да, доказать это возможно. Вам нужно документально подтвердить, что контракт с Народной милицией ДНР прекратил свое действие по истечении срока, а с Министерством обороны РФ был заключен новый, отдельный контракт.
Выплаты за заключение первого контракта положены при подписании именно контракта с МО РФ. Контракт, заключенный с вооруженными силами другого государства (которым являлась ДНР на момент подписания), не является контрактом с МО РФ.

Ст. 4 Положения о порядке прохождения военной службы (утв. Указом Президента РФ № 1237)

Контракт заключается между гражданином… и от имени Российской Федерации — Министерством обороны Российской Федерации… Контракт может быть первым или новым.
(Источник: ГАРАНТ.РУ)

План действий:

Получите в архиве или кадровом органе по последнему месту службы в НМ ДНР документ, подтверждающий окончание контракта 21.01.2024 (выписку из приказа об исключении из списков части, копию самого контракта с указанием срока).
Подайте рапорт на имя командира части с требованием предоставить заверенную копию нового контракта, заключенного с МО РФ.
Направьте официальный рапорт в Единый расчетный центр МО РФ и командиру части с требованием произвести выплаты, положенные при заключении первого контракта. Приложите копии документов, подтверждающих окончание старого контракта и заключение нового.
В случае отказа — обращайтесь с административным иском в военный суд или с жалобой в военную прокуратуру.

Важный нюанс: Финансовые органы могут ошибочно трактовать ситуацию как автоматическое продление контракта в рамках Указа Президента РФ № 647 о частичной мобилизации. Ключ к успеху — доказать, что юридически старый контракт прекратился, а новый является самостоятельным документом, порождающим право на выплаты.