Смогут ли они эвакуировать мешающий транспорт?

1) Что именно нарушает водитель, когда ставит машину так, что вы не можете въехать/выехать?
Вопрос. Запрещена ли остановка/стоянка перед воротами, если это блокирует въезд/выезд?

Ответ. Да. ПДД прямо запрещают остановку «в местах, где ТС … сделает невозможным движение (въезд или выезд) других ТС». Это п. 12.4 ПДД РФ. 

 
2) Какое это правонарушение и какой штраф?
Вопрос. Что грозит водителю за такое нарушение?

Ответ. Это ч. 4 ст. 12.19 КоАП РФ: «нарушение правил остановки/стоянки на проезжей части, повлекшее создание препятствий для движения других ТС» — штраф 2000 ₽ (в Москве/СПб — 3000 ₽ по ч. 6). 

 
3) Можно ли вызывать ГИБДД и смогут ли эвакуировать?
Вопрос. Правомерно ли звонить в ГИБДД, и имеют ли право увезти мешающий автомобиль на штрафстоянку?

Ответ. Да и да. За нарушения по ч. 2–4 и 6 ст. 12.19 КоАП применяется задержание ТС (эвакуация) по ст. 27.13 КоАП РФ. То есть инспектор вправе вызвать эвакуатор и увезти машину до устранения причины. Если водитель появился до начала движения эвакуатора, задержание прекращается на месте — машину обязан отпустить. 

 
4) Ваши таблички «Частная территория/Машины не ставить» что-то дают?
Вопрос. Имеют ли юридическую силу самодельные таблички на воротах?

Ответ. На проезжей части — нет. На публичной дороге действуют только официальные знаки/разметка по ПДД и ГОСТ. Поэтому опираться в споре нужно не на «таблички», а на п. 12.4 ПДД («нельзя блокировать въезд/выезд»). А вот установка официальных ТСОДД (знак/разметка) через дорожную службу действительно помогает — см. п. 6 ниже. 

 
5) Что делать на практике 
Фиксируйте факт препятствия. Фото/видео, где видно ворота, вашу машину (или необходимость выезда), номер нарушителя, время и адрес. Это пригодится инспектору и на случай обжалований.
Звоните 112 или в дежурную часть ГИБДД региона. Формулировка:
«Автомобиль [марка/номер] создаёт препятствие и перекрыл въезд/выезд с частного домовладения. Нарушение п. 12.4 ПДД; состав ч. 4 ст. 12.19 КоАП. Прошу направить экипаж и применить задержание ТС по ст. 27.13 КоАП». 
На месте. Попросите:

составить протокол по делу (12.19 КоАП) и протокол задержания ТС (27.13 КоАП);
зафиксировать препятствие на нагрудную/служебную видеокамеру;
если водителя нет — протокол задержания оформляется в присутствии понятых или под видеозапись (так и должно быть). 
Параллельно можно быстро попытаться «разрулить мирно». Через сервис «Сообщение о проблеме владельцу ТС» на Госуслугах отправьте владельцу уведомление по номеру — иногда машину убирают до приезда наряда. Это не отменяет вызов ГИБДД. 
 
6) Как снизить вероятность повторений (законные профилактические меры)
Вопрос. Можно ли «узаконить» запрет и сделать эвакуацию быстрее?

Ответ. Да, через установку средств организации движения по согласованной схеме:

Обратитесь в балансосодержателя дороги/администрацию с заявлением включить в схему ОДД:
знак 3.27 «Остановка запрещена» или 3.28 «Стоянка запрещена» у ворот + табличка 8.24 «Работает эвакуатор» (тогда эвакуация производится уже за сам факт нарушения знака) и/или жёлтую разметку 1.4 у бордюра (зона запрета остановки). Приложите фото-фиксацию проблем, подписи соседей, схему расположения ворот и интенсивность движения. 
Почему это работает: табличка 8.24 официально указывает, что в зоне знаков 3.27–3.30 осуществляется задержание ТС (эвакуация). А жёлтая линия 1.4 вдоль бордюра означает запрет остановки.
 
7) Чего делать нельзя — чтобы самому не попасть под штраф/иск
Не ставьте самодельные препятствия на дороге (конусы, цепи, барьеры) и не «блокируйте» чужие машины — это может считаться умышленным созданием помех (ст. 12.33 КоАП) и (или) самовольным занятием участка, а ущерб/повреждение — поводом для гражданской/уголовной ответственности. 
Не портите чужое авто (царапать, клеить наклейки, перекрывать замками и т. п.) — будет уже ваша ответственность.