Как лучше это оформить, чтоб потом не было возможности оспорить?

1. Самый надёжный вариант — нотариальное завещание
Это основа.
Бабушка должна оформить завещание у нотариуса, где прямо указать, что все денежные средства на таких-то счетах переходят вам.

Что важно:
Завещание составляется лично бабушкой у нотариуса.
Нотариус проверяет личность, дееспособность, отсутствие давления.
Можно указать:

«Все денежные средства, находящиеся на моих банковских счетах в банке [название], включая проценты, завещаю [ФИО, дата рождения].»
Завещание хранится у нотариуса, а данные о нём заносятся в Единый реестр завещаний (ЕИС нотариата) — потеряться не может.
После смерти нотариус по запросу наследника найдёт завещание и откроет наследственное дело.
Почему этот вариант почти не оспаривается:
нотариус фиксирует всё официально, бабушка действует добровольно и в здравом уме, есть свидетели (при необходимости). Суду крайне трудно доказать обратное.

 
 2. Дополнительно — «завещательное распоряжение в банке»
Это можно сделать вместе или вместо завещания, но лучше — в дополнение.

Как это работает:
Бабушка идёт в банк, где у неё счёт, и пишет завещательное распоряжение.
Форма утверждена Центробанком (ст. 1128 ГК РФ).
После смерти банка передаёт деньги не через общую процедуру наследства, а непосредственно тому, кто указан в распоряжении.
Преимущества:
Простое оформление: не нужен нотариус, только паспорт.
Быстрое получение после смерти (банк выплачивает после предъявления свидетельства о смерти и документов).
Трудно оспорить, потому что распоряжение оформляется лично в банке по установленной форме.
 Можно оформить в каждом банке отдельно — если есть несколько счетов.

 
3. Дарение при жизни — менее надёжно
Бабушка может подарить деньги сейчас, но:

Дарение крупной суммы может вызвать налоговые и банковские вопросы (дарение между бабушкой и внуком не облагается НДФЛ, но нужна прозрачность перевода).
Другие наследники могут потом утверждать, что она была под влиянием, если сделка вскоре перед смертью.
Поэтому лучше не переводить всё заранее, а использовать завещание + завещательные распоряжения.

 
4. Чтобы завещание потом не оспорили
Вот ключевые моменты защиты от оспаривания:

Риск оспаривания
Как предотвратить
Утверждение, что бабушка была недееспособна
Сделать завещание у нотариуса, взять справку из поликлиники (день в день или за день до визита).
Давление/влияние
Пусть бабушка пойдёт к нотариусу одна, без родственников.
Формальные ошибки
Только нотариальное оформление (не домашнее завещание).
Утрата документа
Всё хранится в Едином реестре завещаний.
 5. Оптимальная комбинация
Для максимальной защиты:

Бабушка делает нотариальное завещание, где указывает вас как наследника денежных средств.
В каждом банке она оформляет завещательное распоряжение на вас.
Тогда:

даже если кто-то попытается оспорить завещание, банк всё равно обязан выплатить вам средства по распоряжению;
и наоборот, если распоряжение по какой-то причине не охватит все счета, завещание их покроет.

Здравствуйте, Марина!

Наиболее надежным способом является оформление завещательного распоряжения правами на денежные средства, размещенные на этих счетах в соответствии со ст.1128 ГК РФ

 1. Права на денежные средства, внесенные гражданином во вклад или находящиеся на любом другом счете гражданина в банке, могут быть по усмотрению гражданина завещаны либо в порядке, предусмотренном статьями 1124 — 1127 настоящего Кодекса, либо посредством совершения завещательного распоряжения в письменной форме в том филиале банка, в котором находится этот счет. В отношении средств, находящихся на счете, такое завещательное распоряжение имеет силу нотариально удостоверенного завещания.

2. Завещательное распоряжение правами на денежные средства в банке должно быть собственноручно подписано завещателем с указанием даты его составления и удостоверено служащим банка, имеющим право принимать к исполнению распоряжения клиента в отношении средств на его счете. Порядок совершения завещательных распоряжений денежными средствами в банках определяется Правительством Российской Федерации.
Распоряжение составляется в двух экземплярах: один выдается бабушке, второй остается в банке и регистрируется.

Убедитесь, что бабушка на момент составления завещательного распоряжения или завещания полностью дееспособна и осознает свои действия. Это может быть подтверждено, например, справкой врача психиатра. 

Здравствуйте, Марина!

Есть два основных способа оформления завещательного распоряжения на банковские счета

1. Завещательное распоряжение в банке (на каждый счет)
Что это:

Это документ, который бабушка может оформить непосредственно в банке, где открыт счет или вклад. В нем она указывает, кому должны быть выданы средства после ее смерти.

Плюсы:

Оформляется бесплатно сотрудником банка.
Не требует нотариального удостоверения (его удостоверяет сотрудник банка).
Процедура получения средств может быть проще и быстрее. 
Минусы (и риск оспаривания):

Оформляется на каждый отдельный счет. Если у бабушки несколько счетов в разных банках, ей нужно оформить распоряжение на каждый из них.
Может быть оспорено в суде по тем же основаниям, что и обычное завещание (например, если докажут, что бабушка была недееспособна или находилась под давлением в момент подписания).
Если в нем указана только часть счетов, остальные счета наследуются по закону (ваша мама и ее брат) или по общему завещанию, если оно есть.
2. Завещание у нотариуса (на все имущество, включая счета)
Что это:

Это общий документ, который бабушка оформляет у нотариуса и в котором может распорядиться всем своим имуществом, включая банковские счета, в вашу пользу.

Плюсы:

Охватывает все имущество (или то, которое она укажет), включая счета во всех банках.
Удостоверяется нотариусом, что придает ему более высокий юридический вес и, теоретически, сложнее для оспаривания, так как нотариус проверяет дееспособность и свободное волеизъявление.
Минусы (и риск оспаривания):

Требуется нотариальное удостоверение (это платная услуга).
Самый большой риск — обязательная доля в наследстве.Независимо от содержания завещания, нетрудоспособные наследники первой очереди (ваша мама и ее брат, если они достигли пенсионного возраста или являются инвалидами на момент открытия наследства) имеют право на обязательную долю.
Обязательная доля составляет не менее половины доли, которая причиталась бы им по закону при отсутствии завещания. Этот пункт оспорить практически невозможно, так как он установлен законом.
Что посоветовать бабушке для максимальной защиты от оспаривания?
Оформление Завещания у Нотариуса: Это более надежный способ, чем завещательное распоряжение в банке, так как нотариус проверяет соблюдение всех формальностей и дееспособность завещателя. Это делает завещание более устойчивым в суде.
Обязательно нужно учесть вопрос обязательной доли для вашей мамы и ее брата, если они являются нетрудоспособными (пенсионеры или инвалиды). Бабушка должна понимать, что если они входят в эту категорию, они все равно получат часть средств.
Договор Дарения или Купли-продажи (при жизни): Если бабушка готова передать вам средства при жизни, это лучший способ полностью исключить оспаривание в рамках наследственного дела.
Дарение: Бабушка просто переводит вам деньги со своих счетов. Это необратимый процесс, не имеющий отношения к наследству.
Договор ренты/пожизненного содержания: Сложный, но очень надежный способ, если вы обязуетесь содержать бабушку взамен на передачу имущества.
Если бабушка оформляет завещание у нотариуса, и она опасается оспаривания по мотиву «не отдавала отчет своим действиям», можно  обратиться  за справкой от врача-психиатра/невролога в день подписания завещания, подтверждающей ее полную дееспособность и адекватное состояние. Это серьезно усложнит оспаривание.
Главный вывод:

Полностью исключить возможность подачи иска в суд об оспаривании невозможно. Но чтобы максимально защитить ее волю, бабушке следует оформить завещание у нотариуса, убедившись, что она полностью понимает его смысл, и принять во внимание, что если на момент открытия наследства ваша мама и ее брат будут нетрудоспособны, они будут иметь право на обязательную долю.