Разве их внутренний регламент меня обязывает его исполнять?

Здравствуйте!

Договор считается заключенным, если между сторонами, в требуемой в подлежащих случаях форме, достигнуто соглашение по всем существенным условиям договора (статья 432 ГК РФ).

Поскольку у вас заключён договор с брокером, соответственно, приняв условия договора вы согласились с тем, что регламент является для вас обязательным. Такое положение об обязательности регламента брокера  во взаимоотношениях сторон обычно прописывается в оферте брокера к которой вы присоединяетесь или непосредственно в самом договоре.

Соответственно, поскольку регламент обязателен для сторон, вы обязаны соблюдать его условия.

ГК РФ Статья 421. Свобода договора
1. Граждане и юридические лица свободны в заключении договора.

4. Условия договора определяются по усмотрению сторон

Все остальные моменты по вашей ситуации, можно подробно разобрать отдельно в чате. При необходимости напишите мне в чат. 

Здравствуйте, Елена.

И вот здесь брокер ссылается на свой внутренний регламент, требует или писать в чат приложения, или ехать в офис и писать бумажное заявление

 Вам придется подчиниться требованиям Регламента брокера, по открытию, ведению и закрытию брокерского счете, ведь, заключив договор на брокерское обслуживанием, Вы принятия все условия, выставленные брокером.