моя мама купила своей маме квартиру бабушка умерла позовчера

Если нет завещания, то по закону наследниками будут являться дочери. 

Квартира, с высокой долей вероятности, достанется вашей маме как единственной собственнице. Она не является наследством бабушки, поэтому другие дочери и сожитель на нее претендовать не могут.

Но это при условии, что есть документы, подтверждающие покупку.

Вся суть ситуации зависит от одного главного факта: на кого была оформлена квартира при покупке.

Сценарий 1 (Наиболее вероятный): Квартира была куплена и оформлена на вашу маму
В этом случае ваша мама является единоличной собственницей квартиры.

Почему это так? Прописка (постоянная регистрация) бабушки и факт того, что она там жила, не дает ей никаких прав собственности на эту квартиру. Право собственности возникает только на основании договора купли-продажи и государственной регистрации в Росреестре.
Что это значит? Эта квартира не входит в наследственную массу бабушки. Она не является имуществом, которое принадлежало бабушке на момент смерти. Следовательно, наследоваться будет не квартира, а право проживания в ней, которого теперь нет.
Кто имеет право на квартиру? Только ваша мама. Она может свободно распоряжаться квартирой: продавать, дарить, сдавать в аренду.
При чем тут другие дочери и сожитель? Они не имеют никаких прав на эту квартиру, так как она им никогда не принадлежала. Их права могли бы возникнуть, если бы бабушка была собственником, но в данном сценарии она ею не является.

Сценарий 2 (Менее вероятный, но его нужно проверить): Квартира была оформлена на бабушку
Если по каким-то причинам при покупке квартира была оформлена на саму бабушку, то ситуация кардинально меняется.

В этом случае квартира становится наследством бабушки.
Наследство будет делиться между наследниками по закону (так как завещания, скорее всего, нет).
Кто будет наследниками:

Сожитель: Не является наследником по закону, если только он не был на иждивении бабушки и не проживал с ней не менее года до смерти. Доказать это сложно.
Дочери: Являются наследниками первой очереди. Значит, квартира будет делиться в равных долях между всеми тремя дочерьми (вашей мамой и двумя ее сестрами).

Ваша мама в этом случае сможет претендовать только на 1/3 долю в этой квартире, несмотря на то, что она ее оплатила. Чтобы вернуть деньги, ей придется доказывать в суде, что это была не дарственная, а покупка на ее средства, и требовать признания за ней права собственности или взыскания неосновательного обогащения с наследников. Это сложный и долгий судебный процесс.