Здравствуйте, Оксана!
Проблемы на границе маловероятны, но возможны. Менять внутренний паспорт РФ не нужно. Самый правильный и надежный путь — поменять загранпаспорт.
В паспортах советского образца и в свидетельствах о рождении указывалось название административной единицы в рамках СССР — Дагестанская АССР. После распада СССР и образования РФ это название было изменено на Республика Дагестан. Система МВД, которая выдавала ваш маме загранпаспорт, автоматически перенесла данные из старого паспорта или свидетельства о рождении, сохранив историческое название.
Проблема может возникнуть не на выезде из России, а при въезде в другую страну, особенно с строгим визовым контролем (например, в странах Шенгена, США, Великобритании).
Если вы получили ответ на свой вопрос, буду благодарна отзыву. За более подробной консультацией Вы можете обратиться ко мне в чат.