Добрый вечер!
Если Вам уже отказали в выплате, то нужно обращаться в суд.
Надо ли мне доказывать ей в суде что это его сын
Если отец вписан в свидетельство о рождении ребенка, никаких тестов ДНК Вы не обязаны предоставлять суду.
Жена отца ребенка также не имеет права оспорить отцовство в силу ч.1 ст.52 СК РФ:
1. Запись родителей в книге записей рождений, произведенная в соответствии с пунктами 1 и 2 статьи 51 настоящего Кодекса, может быть оспорена только в судебном порядке по требованию лица, записанного в качестве отца или матери ребенка, либо лица, фактически являющегося отцом или матерью ребенка, а также самого ребенка по достижении им совершеннолетия, опекуна (попечителя) ребенка, опекуна родителя, признанного судом недееспособным.https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_8982/ec9abaa90d337ad656b5f02ffe648b8d166d8133/
Как видите, больше никаких лиц, имеющих право на оспаривание отцовства, в законе не указано.
Вам нужно предоставить в суд свидетельство о рождении ребенка и отказ, который Вы получили, обратившись за выплатой.