И вообще, по болезни этой в итоге могут дать отсрочку?

Карина, добрый день.

Дяде пришла повестка о мобилизации по месту регистрации

 Может ему пришла повестка о призыве на военные сборы? 

Или речь идет о призыве на военную службу (срочную)? 

но получил и расписался НЕ ОН, а сестра

 В таком случае дядя не обязан являться по данной повестке.

Надлежащим способом ее вручения в силу ст. 31 ФЗ «О воинской обязанности и военной службе» является ее личное получение под роспись.

Поскольку дядя ее не получал и за ее вручение не расписывался — она не считается полученной.

После чего на в этот вечер или на след день его госпитализировали с язвой желудка 12-ти перистой кишки, после выписки из больницы он пошел в военкомат, чтоб предоставить документы из больницы и болезни, на что ему сказали, что это не основание для отсрочки

 Тут военкомат прав — в том случае если речь шла о призыве на военные сборы.

В том случае, если язвенная болезнь не осложнена пенетрацией, стенозом пилоробульбарной зоны, массивным гастродуоденальным кровотечением, или имеет иные подобные негативные последствия — то его заболевание не является основанием для освобождения от призыва на военные сборы.

Правомерно ли, что сестра расписалась в повестке и ему будет штраф за это? Могут ли вообще подать в розыск? Повестку принял не он и роспись не его?

 Это не правомерно. 

И в этом случае дяде не грозит ответственность за неявку по повестке, поскольку он ее формально не получал.

И вообще, по болезни этой в итоге могут дать отсрочку?

 Его могут освободить от участия в военных сборах в связи с обострением заболевания.

При его обострении при прохождении освидетельствования ему могут установить категорию Г.

И в этом случае в силу ст. 55 ФЗ «О воинской обязанности и военной службе» есть право на освобождение от участия в военных сборах.

Если речь идет о срочной службе — то указанное заболевание может явиться как основанием для предоставления отсрочки, так и для освобождения от призыва.