Здравствуйте.
1) Можно ли заключить договор аренды квартиры между мной и моей мамой? Я арендатор. Квартира в собственности мамы. Прописана я и мои маленькие дети.
Да, ваша мать как собственник вправе предоставит вам квартиру на основании договора коммерческого найма.
И можно ли указать в договоре стоимость несколько ниже рыночной?
Можно, условия договора определяются на усмотрение сторон (ст. 421 ГК).
Если вам нужна более детальная консультация по данному вопросу, могу проконсультировать вас в чате (кнопка " общаться в чате" находится рядом с фото юриста). Консультация в чате предоставляется на платной основе по минимальным тарифам сайта.