Есть ли шансы отменя выдворения или его смягчения?

Здравствуйте.

Есть ли возможность подать кассационную жалобу на основе родственника РФ.?

Да, наличие у иностранного гражданина близких родственников — граждан РФ может послужить основанием для отмены решения о выдворении. 
К близким родственникам относятся родители, дети, супруг/супруга и граждане, которые находятся на иждивении/попечительстве выдворенного лица. Братья и сёстры граждан РФ не считаются основанием для отмены запрета. Также основанием не являются случаи, если родственные связи появились уже после выдворения. 

Если срок пребывания иностранца в России истёк, работодатель может инициировать процесс продления разрешения на работу, при условии, что трудовые отношения с работником ещё действуют. 
Некоторые шаги процедуры:
Убедиться, что разрешение на временное проживание действительно и не было аннулировано.
Подать заявление в российские органы власти заранее, до истечения срока действия, чтобы избежать юридических проблем.
Подготовить необходимые документы, включая заявление о выдаче нового разрешения на работу и подтверждение текущих трудовых отношений.
Для продления разрешения правовой статус иностранца в России должен соответствовать условиям его текущей визы или временного пребывания.
Работник обязан предъявить действующий паспорт, медицинскую страховку и другие документы, подтверждающие соблюдение российского миграционного законодательства.
В некоторых случаях могут потребоваться дополнительные разрешения или сертификаты, в зависимости от типа трудовых ресурсов и отрасли, в которой работает иностранный работник.
Все процедуры должны быть выполнены в разумные сроки, поскольку задержка с подачей заявления на продление может привести к штрафам или проблемам с дальнейшим пребыванием работника в Российской Федерации.

Один ВАЖНЫЙ момент: надо помнить, что суммарная продолжительность срочного договора не должна превышать 5 лет. Если этот срок будет превышен, договор автоматически станет бессрочным. 

Что касается отмены выдворения или его смягчения, то обжаловать выдворение из России можно только в судебном порядке.

Некоторые основания для отмены выдворения:
Нарушение незначительное и не представляет угрозы.
Иностранец находился в РФ легально, но допустил ошибку по уважительной причине.
В России у иностранца семья, дети, пожилые родственники, требующие ухода.
Пребывание необходимо по медицинским показаниям.
Иностранец трудоустроен официально, платит налоги и имеет положительные характеристики.