У меня есть запрет из РФ из-за арестов, могу ли я заехать в Луганск?

Луганская Народная Республика (ЛНР) в настоящее время входит в состав Российской Федерации. Поэтому въезд туда из других регионов России не является выездом за границу. 
Ваш запрет на выезд из РФ (который обычно накладывают судебные приставы или суд) касается пересечения государственной границы Российской Федерации с иностранными государствами. Он не распространяется на перемещение внутри страны.
Да, вы можете поехать в Луганск (ЛНР).
Перемещение в ЛНР считается внутренней поездкой по территории России.
На внутренних рейсах или при поездках на автомобиле через пункты контроля внутри России обычно не проверяют наличие запрета на выезд за границу, если только судом или следствием не были наложены другие процессуальные ограничения (например, запрет покидать определенное место или город). 
Убедитесь, что против вас не действует других ограничений (например, домашний арест или подписка о невыезде из вашего текущего места жительства), которые могут препятствовать поездке в другой субъект РФ.