В школе на группе продлённого дня навязывают платную услугу, то есть для того чтобы ребёнок мог остаться на

Ситуация, когда ребёнку фактически навязывают приобретение платного обеда как условие пребывания в группе продлённого дня, не соответствует законодательству.

Питание в школе — это отдельная платная услуга, которая может оказываться только на основании добровольного согласия родителей (ст. 54 Федерального закона № 273-ФЗ «Об образовании»).
Принуждение к покупке питания — незаконно.
Группа продлённого дня — это иная образовательная услуга, которую школа организует самостоятельно согласно локальным актам.
Однако никаких законных оснований увязывать участие в продлёнке с обязательной покупкой школьного питания нет. Это две разные услуги, и одна не может быть условием для другой.
Учитель не вправе отказывать ребёнку в посещении группы продлённого дня по причине отсутствия школьного обеда.
Такие действия противоречат:

ст. 5, 28, 34 Закона об образовании (гарантия доступа к образовательным услугам);
ст. 17 Закона о защите прав потребителей (запрет навязывания дополнительных услуг).
Ребёнок вправе приносить пищу из дома, и школа не имеет права устанавливать противоположные запреты, если нет медицинских ограничений или специальных санитарных правил (которых в данном вопросе нет).
Если педагог «выгоняет» ребёнка или ограничивает его пребывание из-за отказа покупать питание — это нарушение должностных обязанностей, и такие действия подлежат обжалованию.
Как можно действовать:

Запросить у школы локальный акт, на который они опираются, утверждая, что питание обязательно. В 99% случаев такого документа не существует.
Подать письменное заявление директору с требованием:

прекратить навязывание платной услуги;
обеспечить допуск ребёнка в группу продлённого дня.
В случае отказа — жалоба в Роспотребнадзор, департамент образования, а при необходимости — в прокуратуру.
Ситуация, которую вы описали, с высокой вероятностью является нарушением законодательства, и школа не вправе устанавливать подобные условия.