И нужно ли по окончанию срока, по-новому сдавать экзамен на оружие

из-за нахождения в общественном месте в нетрезвом виде два раза в течение года

Мой первый комментарий касался случаев, когда назначено повторное наказание — тогда считаете 1 года.

Но у вас было нарушение по такой статье, где кроме штрафа предусмотрен арест, поэтому в вашем случае нужно считать не 1 год, а 2 года от момента исполнения последнего наказания

5.1) привлеченным к административной ответственности за совершение административного правонарушения, предусматривающего административный арест в качестве одного из видов административного наказания… — до истечения одного года со дня окончания срока, в течение которого лицо считается подвергнутым административному наказанию;

Пускай вас не сбивает с толку выделенная фраза про один год, по сути там речь о сроке в один год после истечения другого годичного срока — это как раз срок, в течение которого вы считаетесь подвергнутым административному наказанию. Год на год — получается два года.

Другими словами — требование законное.