Подскажите, пожалуйста, что мне грозит при постановке на учёт через столь поздний срок и как лучше обосновать где я пропадал?

Алексей, здравствуйте!

Неявка в военкомат для постановки на воинский учет в течение столь длительного времени является административным правонарушением. Но, учитывая срок (18 лет), вам не грозит серьезное наказание благодаря истечению сроков давности привлечения к административной ответственности.
 
Статья 21.5 КоАП РФ (Неисполнение гражданами обязанностей по воинскому учету) — предусматривает ответственность за неявку в установленный срок в военный комиссариат для постановки на воинский учет.

Наказанием по этой статье является предупреждение или административный штраф в размере от 1000 до 3000 рублей (по состоянию на текущий момент; размер штрафа мог меняться со временем).
Согласно статье 4.5 КоАП РФ, срок давности привлечения к административной ответственности по данной статье составляет три года с момента совершения правонарушения (с момента увольнения и первой неявки).

Поскольку прошло 18 лет, сроки давности давно истекли. Привлечь вас к административной ответственности и оштрафовать за пропуск срока 18 лет назад уже не имеют права.
 
Вам не нужно придумывать сложных легенд. Достаточно будет простого и честного объяснения. Военкоматы обычно не заинтересованы в наказании за давние проступки, их цель — поставить вас на учет и актуализировать данные.

При постановке на учет вы заполните анкету и напишете объяснительную. Просто укажите, что после увольнения переехали, занимались личными делами, работой, обустройством жизни, и по невнимательности/незнанию закона не встали на учет сразу, а затем «руки не доходили».

Тот факт, что у вас на руках личное дело, жетон и удостоверение, подтверждает, что вы не скрывались намеренно от государства, а просто допустили халатность.

Не нужно ссылаться на серьезные проблемы со здоровьем или форс-мажорные обстоятельства, которые трудно доказать. Простое бытовое объяснение вполне подойдет.
 
Подготовьте документы:

Паспорт гражданина РФ.
Личное дело военнослужащего, которое у вас хранится.
Военный билет (если есть, если нет — его оформят).
Удостоверение личности офицера и жетон.
Свидетельство о рождении, свидетельство о браке/разводе, свидетельства о рождении детей (для заполнения личной карточки).
Документы об образовании.

Явитесь в военный комиссариат по месту вашего текущего жительства (или регистрации).

Вас попросят написать объяснительную о причинах несвоевременной постановки на учет.

Вас поставят на воинский учет, присвоят вам военно-учетную специальность, категорию годности (возможно, отправят на ВВК, учитывая ваш возраст), выдадут (или заменят) военный билет и т.д.

Вам не стоит переживать из-за сроков давности. Смело идите в военкомат, честно объясните ситуацию, и вас просто поставят на учет без каких-либо серьезных последствий, кроме, возможно, небольшого штрафа (который можно оспорить, ссылаясь на истечение сроков давности).