Два собственника квартиры, после смерти родственника являвшего тоже собственником квартиры, вступают в наследство на равных долях, один вступил в наследство другой не хочет вступать

Нет, никакой ответственности или наказания за нежелание вступать в наследство законом не предусмотрено. Принятие наследства — это право, а не обязанность гражданина (ст. 1152 ГК РФ).

Однако отказ от вступления в наследство или простое бездействие ведут к определенным юридическим последствиям для обоих собственников.

Что происходит с долей, которую не принимают?
1. Если наследник не подает заявление (бездействие)

Если второй собственник просто игнорирует нотариуса и не вступает в права в течение 6 месяцев, он считается не принявшим наследство. В этом случае его доля может:

Перейти к вам (если вы подали заявление), так как вы являетесь другим наследником той же очереди.
Стать «выморочным имуществом» и отойти государству (если вы не претендуете на его долю).
2. Юридические риски «фактического принятия»

Если второй собственник прописан в этой квартире или живет в ней, но не идет к нотариусу, суд может признать, что он фактически принял наследство (ст. 1153 ГК РФ).

Это значит, что он все равно считается собственником доли, даже без бумаг.
Долги по ЖКХ на эту долю будут продолжать копиться на его имя.
Рекомендации для вас:
Оформите свою часть: Вам необходимо получить у нотариуса свидетельство на ту долю, которая полагается вам по закону.
Приращение долей: Если второй наследник не вступит в права в течение 6 месяцев и не докажет «фактическое принятие», вы можете подать заявление на включение его доли в состав вашей. Тогда вы станете собственником всей квартиры (или большей её части).
Расходы на содержание: Пока второй собственник не оформил документы, обязанность по оплате коммунальных услуг часто ложится на тех, кто фактически пользуется квартирой. Однако вы имеете право через суд требовать с него компенсацию расходов пропорционально его доле.
Итог: Наказывать второго собственника никто не будет, но он рискует потерять право на имущество, а вы можете получить возможность законно увеличить свою долю в квартире.

Могу рассказать, как правильно оформить документы, если второй наследник так и не явится к нотариусу до истечения полугода.

Вступление в наследство — это право, а не обязанность наследника.