И может в теории она его посадить?

Здравствуйте, он может быть привлечен к уголовной ответственности, если будет доказано, что у Вас с ним была интимная близость до достижения Вами возраста 16 лет. Если этого не было, то сажать его незачто

Краткий ответ:
Мать не имеет права вас избивать и угрожать. Это незаконно. Теоретически «посадить» парня (возбудить уголовное дело) она может, подав заявление, но его вряд ли осудят, если вы подтвердите, что отношения добровольные. Запрещать видеться вам она не имеет права, так как вы дееспособны.

Теперь подробнее по каждому пункту:

 
1. Избиение и угрозы с ее стороны
Это самая серьезная часть вашей ситуации. Действия вашей матери являются уголовно наказуемыми:

Побои (ст. 116.1 УК РФ) или истязание (ст. 117 УК РФ) — если избиения носят систематический характер.
Угроза убийством или причинением тяжкого вреда здоровью (ст. 119 УК РФ) — если угрозы носят реальный характер и вы их опасаетесь.
Что вы можете сделать:

Обратиться в полицию. Вы имеете полное право написать заявление. Фиксируйте побои (фото, видео, записи разговоров). Обратитесь в травмпункт для снятия побоев — это будет вещественное доказательство.
Обратиться в органы опеки и попечительства. Они обязаны защищать права несовершеннолетних. Факт насилия в семье — основание для их вмешательства.
Обратиться к школьному психологу или социальному педагогу. Они обязаны сообщить о фактах насилия в соответствующие органы.
 
2. Возможность «посадить» вашего парня
Мать может попытаться подать заявление в полицию о совершении преступления по статье 134 УК РФ («Половое сношение с лицом, не достигшим шестнадцатилетнего возраста»). Но здесь есть ключевые моменты:

Вам уже исполнилось 16 лет. Согласно закону, общий возраст согласия в России — 16 лет. Это значит, что с этого возраста вы самостоятельно отвечаете за свою половую жизнь.
Однако, есть нюанс. Если разница в возрасте больше, чем предусмотрено законом, и ваша «неопытность» или зависимость была использована, могут быть сложности. Но вашему парню 22, а вам 16. Разница в 6 лет. Для привлечения по ст. 134 УК РФ, если потерпевшей (вами) достигнут 16-летний возраст, необходимо доказать, что вы находились в зависимом положении (материальной, служебной и т.д.) или что ваше согласие было получено обманом.
Главный аргумент в его защиту — ваши показания. Если вы в полиции и в суме (если дойдет) подтвердите, что отношения были и есть полностью добровольными, по взаимному согласию, и вы не находились в зависимости от него, то уголовное дело, скорее всего, возбуждено не будет, а если и будет, то закончится оправдательным приговором.
Вывод: Риск есть, но он невысокий, если ваши отношения действительно добровольны и вы готовы это подтвердить.

 
3. Имеет ли мать право запрещать вам встречаться и жить с парнем?
С 16 лет вы приобретаете частичную дееспособность.

Вы вправе самостоятельно выбирать место жительства (с согласия родителей или лиц, их заменяющих, но это больше относится к формальностям).
Вы вправе самостоятельно решать, с кем вам общаться, дружить и встречаться.
Мать может высказывать свое мнение, беспокоиться, советовать, но запрещать и применять насилие она не имеет права.
Важный момент: Если вы решили жить отдельно от матери, вам нужно решить вопрос с материальным обеспечением. В 16 лет вы можете работать (с согласия одного из родителей) или учиться. Ваш парник, предоставляя вам жилье и содержание, должен понимать возможные риски (см. пункт 2).

 
Что вам делать? Рекомендации по порядку
Обеспечьте свою безопасность. Избиения должны быть остановлены. Рассмотрите варианты:

Разговор с матерью при свидетелях (другие родственники, которым вы доверяете).
Обращение в полицию или органы опеки. Это неприятно, но это ваш законный способ защиты.
Соберите «доказательную базу». Сохраняйте скриншоты угроз (если они в сообщениях), записи разговоров (в России есть нюансы с записью без согласия, но для предъявления полиции это может сработать), фотографии побоев.
Подготовьтесь к возможному заявлению от матери. Спокойно и четко объясните вашему парню, что в случае давления со стороны полиции, вы будете на его стороне и подтвердите добровольность отношений.
Подумайте о своем будущем. Вам 16, вы считаете себя готовой к самостоятельной жизни. Просчитайте, как вы будете обеспечивать себя, продолжать учебу. Эмансипация (признание полностью дееспособным через суд) возможна с 16 лет при наличии работы или предпринимательства.
Обратитесь за помощью. Поговорите с психологом (в школе, на телефоне доверия). Ситуация с насилием в семье очень травматична, и поддержка специалиста важна.
Итог: Ваша мать нарушает закон, применяя к вам насилие. Ее угрозы «посадить» парня имеют под собой формальный повод, но при вашей позиции о добровольности отношений реальной угрозы осуждения мало. С 16 лет вы имеете право самостоятельно решать, с кем жить и общаться.