Помогите пожалуйста, подскажите как мне обезопасить себя, сына и маму от бездействия сестры?

Здравствуйте, Александра! Ваша ситуация юридически разрешима даже при полном отсутствии контакта с сестрой. В российском праве понятие «ответственный квартиросъемщик» давно упразднено: согласно ст. 672 ГК РФ и ст. 60 ЖК РФ, все совершеннолетние члены семьи имеют равные права и обязанности. Отсутствие переоформленного договора после смерти отца не лишает вас права пользования, так как договор считается продолженным на прежних условиях, но фиксирование вашего статуса необходимо для дальнейших действий.
Поскольку сестра игнорирует обращения, а ДГИ (Департамент городского имущества) отказывает в регистрации изменений без её подписи, единственным эффективным путем является судебный порядок.
Направьте сестре официальную досудебную претензию. Вместо СМС используйте «Почту России». Отправьте ценное письмо с описью вложения по адресу её регистрации. В письме предложите в течение 10 дней явиться в МФЦ для заключения дополнительного соглашения к договору соцнайма. Квитанция об отправке станет вашим главным доказательством в суде, что вы пытались решить вопрос мирно, а сестра злоупотребляет правом.
Подайте иск в суд о признании нанимателем и понуждении к заключению договора. На основании ст. 82 ЖК РФ, если члены семьи не могут договориться, кто будет указан нанимателем в договоре (вместо умершего отца), этот спор разрешается судом. В иске требуйте признать вас (или маму) нанимателем, а остальных — членами семьи нанимателя. Судебное решение заменит личную подпись сестры в ДГИ и МФЦ.
Зафиксируйте разделение оплаты. Вы указали, что счета уже разделены судом. Это ваше преимущество. Согласно п. 4 ст. 69 ЖК РФ и разъяснениям Верховного Суда РФ, это подтверждает ведение раздельного хозяйства. Если сестра накопит долги по своей части счета, это не коснется вас и станет основанием для её возможного признания утратившей право пользования (если она фактически не проживает в квартире более 6 месяцев).
Вопрос приватизации. К сожалению, по закону № 1541-1 «О приватизации жилищного фонда в РФ», приватизация возможна только при согласии всех прописанных. Если она категорически против, принудить её через суд нельзя. Однако наличие актуального договора соцнайма позволит вам в будущем требовать расселения или постановки на учет как нуждающихся в улучшении жилищных условий (с учетом 61,2 кв.м на 6 человек вы имеете на это право, так как обеспеченность менее учетной нормы).
Ваш алгоритм действий: Письменная претензия почтой -> Иск в суд по ст. 82 ЖК РФ -> Регистрация договора в ДГИ на основании решения суда. Это полностью исключит зависимость от воли сестры в вопросе оформления документов.
Если моя консультация оказалась Вам полезной, можете поддержать меня по ссылке: pravoved.ru/lawyer/4310577/
Если остались вопросы или появились новые — пишите в личные сообщения для более развернутой консультации и составления НЕОБХОДИМЫХ ДОКУМЕНТОВ!
С уважением, Дмитрий Филимонов!