Если он напишет завещание можно оспорить такое завещание после его смерти?

Здравствуйте, Александр.

Да, завещание, составленное человеком с психическими нарушениями, даже если он не был признан судом недееспособным или ограниченно дееспособным, можно оспорить в суде. Ключевым фактором является не юридический статус завещателя, а его фактическое психическое состояние в момент составления завещания. 

Согласно п. 1 ст. 177 ГК РФ, сделка (в том числе завещание), совершённая гражданином, который в момент её совершения не мог понимать значения своих действий или руководить ими, может быть признана судом недействительной. Это положение применяется независимо от того, был ли человек официально признан недееспособным или ограниченно дееспособным