Требуют паспорт и СНИЛС для занесения в базу для хранения и обработки персональных данных

Паспорт — для идентификации личности. Да, это обязательно. Вы можете отказаться подписывать отдельное «Согласие на обработку персональных данных» в частной клинике, и клиника не имеет права отказать вам в лечении только из-за этого, это лично ваше желание. Отказ в лечении из-за отсутствия подписанного согласия незаконен, так как врач обрабатывает данные для диагностики и лечения в рамках врачебной тайны. 

Напишите «Я отказываюсь подписывать отдельные согласия, но готова лечиться». Потребуйте основания для отказа в письменной форме. Клиника не имеет законных оснований… Подпишите Договор на оказание услуг, информированное добровольное согласие на медицинское вмешательство (обязательно по ФЗ-323), акт о том, что вы отказались подписывать согласие на обработку данных (чтобы клиника зафиксировала ваш отказ). Если клиника будет отказывать, тогда жалуйтесь в Роспотребнадзор (нарушение прав потребителя) и Минздрав региона. 

«Согласие на обработку персональных данных» для того чтобы  с вашего разрешения: передавать ваши данные сторонним лабораториям без договора с ними, передавать данные страховым компаниям без согласия (кроме случаев ОМС), использовать данные в рекламных целях или передавать третьим лицам

ФЗ-152 «О персональных данных», ст. 9, ч. 2 Согласие не требуется, если обработка нужна для оказания медицинских услуг лицом, обязанным хранить врачебную тайну. ФЗ-152, ст. 6, ч. 1, п. 5 Согласие не нужно для исполнения договора (лечения), стороной которого вы являетесь.