Здравствуйте.
Скорее всего, нет — УК не обязана выдавать такую справку только потому, что ей передали дом в управление.
Справка о полной выплате пая обычно исходит от ЖСК, поскольку именно кооператив вёл учёт паенакоплений; право собственности у члена ЖСК возникает после полной выплаты пая по п. 4 ст. 218 ГК РФ. Росреестр также указывает, что такую справку выдает ЖСК за подписью председателя и главного бухгалтера.
Если ЖСК в ликвидации, обращаться нужно не в УК, а к тому, кто принял документы ЖСК:
обычно это ликвидационная комиссия (ликвидатор) либо лицо/организация, которым передан архив кооператива. При ликвидации именно ликвидационная комиссия ведёт дела кооператива и работает с его документами.
Итог:
УК не обязана выдавать справку о выплаченном пае, если она не является правопреемником ЖСК и не уполномочена на это.
Нужно письменно требовать справку у ликвидатора ЖСК.
Если документы действительно переданы в УК, тогда просите письменный ответ, на каком основании они у них находятся и кто уполномочен выдать подтверждение.
При отказе обычно идут в суд и устанавливают право собственности по другим доказательствам выплаты пая.
Если хотите, я могу сразу дать короткий текст запроса ликвидатору или в УК.
Если остались вопросы или нужно составить документ — пишите в чат!
Если есть желание отблагодарить юриста любой суммой, переходите по ссылке: pravoved.ru/pay/lawyer-reward/id/4367938/