Как его вытянуть оттуда, есть ли законные основания?

Безусловных и 100% оснований, предусмотренных законом, — НЕТ. Основания для увольнения прописаны в 647-м Указу Президента и перечисленных причин там нет. 
НО…
возможный путь увольнения — обоснованный рапорт по 580 ДСП Указу Президента в связи с исключительными обстоятельствами + сильный пакет семейных документов + требование аттестационной комиссии + обжалование отказа.
Вот пошаговый алгоритм:
1. Подать рапорт на увольнение со ссылкой сразу на:
— Указ № 580 ДСП;
— ст. 51 ФЗ № 53-ФЗ, если есть прямое семейное основание;
— просьбу вынести вопрос на аттестационную комиссию и выдать письменный ответ/выписку из заключения комиссии. 
2. Приложить максимум подтверждений:
— свидетельства о рождении всех детей;
— свидетельство о браке;
— справку о беременности супруги и сроке родов;
— меддокументы по больному ребенку;
— свидетельство о смерти отца и матери;
— документы о том, с кем проживают дети;
— если первый ребенок реально на нем без матери — документы, подтверждающие отсутствие матери в правовом смысле. Это важно именно для прямого основания по ст. 51. 
3. В рапорте делать упор на совокупность исключительных обстоятельств: трое несовершеннолетних детей, скорое рождение еще одного, больной ребенок, отсутствие родителей, гибель отца на СВО, фактическая незаменимость в семье. Это не гарантирует увольнение, но усиливает позицию именно по 580 ДСП. 
4. Если рапорт не рассматривают или дают формальную отписку только со ссылкой на Указ № 647 без оценки доводов по 580 ДСП, подавать:
— жалобу вышестоящему командиру;
— жалобу в гарнизонную военную прокуратуру;
— затем административный иск в гарнизонный военный суд об оспаривании бездействия/отказа. На такое обращение в суд обычно дается 3 месяца с момента, когда стало известно о нарушении права.
Если будет нужна помощь — обращайтесь.