Здравствуйте.
Да, вы можете выехать из России в день окончания патента, главное — не оставаться в стране после того, как основание для законного пребывания прекратилось.
Коротко по закону:
Для граждан Узбекистана (безвизовый въезд) срок законного пребывания в РФ продлевается на срок действия патента.
Если срок действия патента закончился, у вас прекращается право легально работать, а также продление вашего временного пребывания на основании этого патента.
После окончания патента вы обязаны покинуть РФ, если не оформили иное законное основание (новый патент, РВП, ВНЖ и т.п.), в противном случае нахождение будет считаться нарушением миграционного режима.
Следовательно, вы вправе выехать в тот же день, когда патент заканчивается (10 июня), это даже правильно: главное — не оставаться в РФ уже после окончания срока действия патента без других документов.