Здравствуйте, Александр!
На каком основании я могу передвигаться по РФ на нем или я должен при каждом пересечении границы менять регистрацию авто?
Нет, не нужно.
На срок до 1 года лицо, имеющее постоянное место жительства вне России, может управлять ТС с иностранными номерами.
Основание: п. 3 ст. 15 ФЗ от 10.12.1995 № 196-ФЗ «О безопасности дорожного движения» и положения ст. 1 Венской конвенции о международном движении от 08.11.1968:
3. Транспортное средство допускается к участию в дорожном движении в случае, если оно состоит на государственном учете, его государственный учет не прекращен и оно соответствует основным положениям о допуске транспортных средств к участию в дорожном движении, установленным Правительством Российской Федерации. Требования, касающиеся государственного учета, не распространяются на транспортные средства, участвующие в международном движении или ввозимые на территорию Российской Федерации на срок не более одного года, на транспортные средства, со дня приобретения прав владельца которых не прошло десяти дней, а также на транспортные средства (в том числе на базовые транспортные средства и шасси транспортных средств), перегоняемые в связи с их вывозом за пределы территории Российской Федерации либо перегоняемые к местам продажи или к конечным производителям и являющиеся товарами, реализуемыми юридическими лицами или индивидуальными предпринимателями, осуществляющими торговую деятельность.
Венская конвенция:
b) транспортное средство считается находящимся в «международном движении» по территории какого-либо государства, если оно:
i) принадлежит физическому или юридическому лицу, имеющему обычное местожительство вне этого государства;
ii) не зарегистрировано в этом государстве;
iii) временно ввезено в него;
однако каждая Договаривающаяся Сторона вправе не считать находящимся в «международном движении» любое транспортное средство, которое оставалось на ее территории более одного года без значительного перерыва, продолжительность которого может устанавливаться этой Договаривающейся Стороной.