Здравствуйте.
Оформить временную регистрацию у знакомых можно - закон этого не запрещает, регистрация по месту пребывания делается с письменного согласия собственника жилья, независимо от того, кем этот собственник вам приходится (Закон РФ от 25.06.1993 № 5242-I, ПП РФ № 713). Никакого нарушения тут нет - временная регистрация не заменяет и не отменяет постоянную, вы просто "прикрепляетесь" по факту пребывания к другому адресу на срок до 5 лет.
По второму вопросу - ключевой момент в другом. Московский статус многодетной семьи и связанные с ним льготы держатся на постоянной регистрации заявителя и минимум троих детей именно в Москве. Если постоянная прописка у вас в Москве в порядке, а временная регистрация будет по другому адресу (у знакомых) - на статус это само по себе не влияет, отказать только из-за расхождения адресов оснований нет. Но соцзащита при проверке нуждаемости и фактического состава семьи вправе запросить подтверждение реального проживания, и вот здесь расхождение адресов может вызвать вопросы и затянуть проверку.
Другое дело, если постоянной регистрации в Москве у вас вообще нет, а есть только временная - тогда московский статус и льготы под угрозой в принципе, это отдельная и более серьёзная история.
Получите конкретный план действий по ситуации: что сделать дальше, какие документы подготовить и на какие сроки ориентироваться.