Квитанция с долгом за период после регистрации перехода права собственности - это не долг Ваших родителей, обязанность по оплате ЖКУ лежит на том, кто был собственником в этот период, согласно ст. 153 ЖК РФ. Покупатель просто не переоформил лицевой счёт на себя, вот и приходят квитанции на старое имя - это чисто техническая история, никакой обязанности платить у родителей нет.
По поводу расторжения сделки из-за "несоответствия жилья" - тут вообще другая история и, честно говоря, звучит как попытка давления. Расторгнуть уже исполненный договор купли-продажи через 4 месяца из-за состояния квартиры крайне сложно: покупатель осматривал жильё до покупки, подписывал акт приёма-передачи, претензий на момент сделки не заявлял. Существенные скрытые недостатки нужно доказывать, и то, что квартира сейчас выставлена на продажу "почти в том же виде" - это как раз работает в Вашу пользу, а не против. Если состояние не изменилось, значит и на момент продажи оно было именно таким, и покупатель это видел и принял.
Но есть нюанс: угрозы судом часто идут не просто так - вероятно, человек хочет либо переложить долг по коммуналке, либо получить компенсацию/уступки без реального похода в суд. Важно понимать, что метаданные фото могут подтверждать дату, но не подтверждают, что именно эти недостатки существовали на момент сделки и являются существенными в юридическом смысле.