Сергей Анатольевич, здравствуйте.
Отказ МФЦ незаконен - закон не связывает право на получение социальной помощи и размещение в приюте с наличием прописки. Прямо на этот счёт есть позиция Верховного Суда: отсутствие регистрации само по себе не может быть основанием для отказа в реализации гражданских прав (Постановление Пленума ВС РФ № 58 от 22.12.2015). А ФЗ № 178-ФЗ "О государственной социальной помощи" допускает обращение по месту фактического пребывания, а не только по месту постоянной регистрации.
Центр на Иловайской 22 создан именно для таких ситуаций - для граждан РФ без жилья и регистрации в Москве. Отказать вам там на "нет прописки" не имеют права, это прямое назначение учреждения. Сотрудник МФЦ, судя по всему, либо не в теме процедуры, либо перепутал вас с иностранцем без документов.
Сейчас, пока не решён вопрос с оформлением, звоните напрямую в диспетчерскую службу "Социальный патруль" - это работает круглосуточно и не требует никаких бумаг для первого выезда: +7 (499) 357-01-80 или +7 (903) 720-15-08. Они обязаны либо забрать вас, либо направить в пункт обогрева/питания на ночь.
Дальше вопрос упирается в правильное оформление документов для полустационарного (длительного) размещения - там своя процедура, и если её не соблюсти, будут гонять по кругу. Это и МФЦ отказавший вам может обязать через жалобу, и порядок зачисления в сам ЦСА - тут есть нюансы, которые нужно знать заранее.
