Долги первого внука на второго автоматически не переходят - это две разные наследственные массы, и ст. 1175 ГК РФ работает только в рамках имущества конкретного наследодателя. Второй внук наследует после бабушки, а не после умершего внука, поэтому его личные долги (если такие были) второй внук не обязан гасить.
Но здесь есть важный нюанс, который многие упускают. Квартира бабушки после её смерти не "висит в воздухе" - принятое наследство считается принадлежащим наследнику со дня открытия наследства, а не с момента оформления свидетельства. То есть второй внук юридически стал собственником квартиры именно с даты смерти бабушки, а не с момента, когда сходил к нотариусу. А значит обязанность по содержанию этого жилья (в том числе долги перед УК/ТСЖ за период, когда в квартире фактически жил, но не платил первый внук) лежит на собственнике - то есть на втором внуке. Управляющая компания будет требовать этот долг именно с него как с владельца помещения, а не потому что он "получил" долг умершего родственника.
То, что там жил и не платил первый внук - это уже другая история, для расчётов между родственниками (можно попытаться взыскать с его наследственной массы неосновательное обогащение), но перед коммунальщиками отвечает собственник квартиры.
Отдельно: если у первого внука были собственные долги (свой лицевой счёт, отдельные обязательства, кредиты и т.п.) - они переходят его наследникам (если такие есть и приняли наследство), но никак не ко второму внуку, который наследует только за бабушкой.
Так что тут два разных долга, которые важно не путать - и от этого зависит, кому и что реально придётся платить.
Получите конкретный план действий по ситуации: что сделать дальше, какие документы подготовить и на какие сроки ориентироваться.