Забрать внука сможете не Вы напрямую, а либо его родители, либо он сам - в 17 лет согласие на психиатрическую помощь и на выписку из стационара дает сам несовершеннолетний, если госпитализация добровольная (ст. 4 Закона РФ от 02.07.1992 № 3185-I). Право законных представителей решать за ребенка действует только до 15 лет, дальше подросток сам субъект этих правоотношений.
Но есть два момента, которые всё меняют.
Первый - бабушка по закону не является законным представителем внука. Ими считаются родители (или опекун, если оформлена опека). Если опеки у Вас нет, то формально запрашивать выписку, перевод, медицинскую документацию имеете право только родители внука или он сам (с 15 лет пациент психиатрического стационара сам получает право на доступ к сведениям о своём здоровье).
Второй, более важный - нужно понять, добровольная это госпитализация или недобровольная. Если его госпитализировали по решению врачебной комиссии/суда как представляющего опасность для себя или окружающих (ст. 29 того же закона), выписать его просто "по заявлению" не получится - там своя процедура с обязательным освидетельствованием комиссией и возможным судебным контролем. Врач говорит "минимум месяц" - это уже похоже на признаки такого порядка, а не на обычную добровольную госпитализацию.
Без ответа на эти два вопроса - кто по документам является законным представителем внука и на каком основании его госпитализировали - дать точный алгоритм не получится.
Получите конкретный план действий по ситуации: что сделать дальше, какие документы подготовить и на какие сроки ориентироваться.